Номер 33.42, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.42 а) $(5a - 10)^2 - (3a - 8)^2 + 132a$ при $a = -6;$

б) $(3p - 8)^2 + (4p + 6)^2 + 100p$ при $p = -2;$

в) $(5b - 3)^2 + (12b - 4)^2 - 4b$ при $b = -1;$

г) $(13 - 5m)^2 - (12 - 4m)^2 + 4m$ при $m = -\frac{2}{3}.$

а) Найдем значение выражения $(5a - 10)^2 - (3a - 8)^2 + 132a$ при $a = -6$.
Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(5a - 10)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 10 + 10^2 = 25a^2 - 100a + 100$.
$(3a - 8)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 8 + 8^2 = 9a^2 - 48a + 64$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$(25a^2 - 100a + 100) - (9a^2 - 48a + 64) + 132a$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$25a^2 - 100a + 100 - 9a^2 + 48a - 64 + 132a = (25a^2 - 9a^2) + (-100a + 48a + 132a) + (100 - 64) = 16a^2 + 80a + 36$.
Теперь подставим значение $a = -6$ в упрощенное выражение:
$16(-6)^2 + 80(-6) + 36 = 16 \cdot 36 - 480 + 36 = 576 - 480 + 36 = 96 + 36 = 132$.
Ответ: 132

б) Найдем значение выражения $(3p - 8)^2 + (4p + 6)^2 + 100p$ при $p = -2$.
Упростим выражение, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(3p - 8)^2 = (3p)^2 - 2 \cdot 3p \cdot 8 + 8^2 = 9p^2 - 48p + 64$.
$(4p + 6)^2 = (4p)^2 + 2 \cdot 4p \cdot 6 + 6^2 = 16p^2 + 48p + 36$.
Подставим в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(9p^2 - 48p + 64) + (16p^2 + 48p + 36) + 100p = (9p^2 + 16p^2) + (-48p + 48p + 100p) + (64 + 36) = 25p^2 + 100p + 100$.
Это выражение можно свернуть в полный квадрат: $25p^2 + 100p + 100 = (5p + 10)^2$.
Подставим $p = -2$ в упрощенное выражение:
$(5 \cdot (-2) + 10)^2 = (-10 + 10)^2 = 0^2 = 0$.
Ответ: 0

в) Найдем значение выражения $(5b - 3)^2 + (12b - 4)^2 - 4b$ при $b = -1$.
Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(5b - 3)^2 = (5b)^2 - 2 \cdot 5b \cdot 3 + 3^2 = 25b^2 - 30b + 9$.
$(12b - 4)^2 = (12b)^2 - 2 \cdot 12b \cdot 4 + 4^2 = 144b^2 - 96b + 16$.
Подставим в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(25b^2 - 30b + 9) + (144b^2 - 96b + 16) - 4b = (25b^2 + 144b^2) + (-30b - 96b - 4b) + (9 + 16) = 169b^2 - 130b + 25$.
Полученное выражение является полным квадратом: $169b^2 - 130b + 25 = (13b - 5)^2$.
Подставим значение $b = -1$:
$(13 \cdot (-1) - 5)^2 = (-13 - 5)^2 = (-18)^2 = 324$.
Ответ: 324

г) Найдем значение выражения $(13 - 5m)^2 - (12 - 4m)^2 + 4m$ при $m = -\frac{2}{3}$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
$(13 - 5m)^2 = 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot 5m + (5m)^2 = 169 - 130m + 25m^2$.
$(12 - 4m)^2 = 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 4m + (4m)^2 = 144 - 96m + 16m^2$.
Подставим в исходное выражение, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(169 - 130m + 25m^2) - (144 - 96m + 16m^2) + 4m = 169 - 130m + 25m^2 - 144 + 96m - 16m^2 + 4m = (25m^2 - 16m^2) + (-130m + 96m + 4m) + (169 - 144) = 9m^2 - 30m + 25$.
Это выражение можно свернуть в полный квадрат: $9m^2 - 30m + 25 = (3m - 5)^2$.
Подставим $m = -\frac{2}{3}$ в полученное выражение:
$(3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 5)^2 = (-2 - 5)^2 = (-7)^2 = 49$.
Ответ: 49