Номер 33.38, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.38 a) $(a - c)(a + c) - (a - 2c)^2;$

б) $(x - 4)(x + 4) - (x + 8)(x - 8);$

в) $(3b - 1)(3b + 1) - (b - 5)(b + 5);$

г) $(m + 3n)^2 + (m + 3n)(m - 3n).$

а) Для решения этого выражения мы используем две формулы сокращенного умножения: разность квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ и квадрат разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

Исходное выражение: $ (a - c)(a + c) - (a - 2c)^2 $.

1. Раскроем первую часть $ (a - c)(a + c) $ по формуле разности квадратов:

$ (a - c)(a + c) = a^2 - c^2 $

2. Раскроем вторую часть $ (a - 2c)^2 $ по формуле квадрата разности:

$ (a - 2c)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2c) + (2c)^2 = a^2 - 4ac + 4c^2 $

3. Подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$ (a^2 - c^2) - (a^2 - 4ac + 4c^2) $

4. Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит минус:

$ a^2 - c^2 - a^2 + 4ac - 4c^2 $

5. Приведем подобные слагаемые:

$ (a^2 - a^2) + 4ac + (-c^2 - 4c^2) = 0 + 4ac - 5c^2 = 4ac - 5c^2 $

Ответ: $ 4ac - 5c^2 $

б) В этом примере мы дважды применяем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Исходное выражение: $ (x - 4)(x + 4) - (x + 8)(x - 8) $.

1. Раскроем первую пару скобок:

$ (x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 $

2. Раскроем вторую пару скобок:

$ (x + 8)(x - 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64 $

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$ (x^2 - 16) - (x^2 - 64) $

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$ x^2 - 16 - x^2 + 64 $

5. Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 - x^2) + (-16 + 64) = 0 + 48 = 48 $

Ответ: $ 48 $

в) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Исходное выражение: $ (3b - 1)(3b + 1) - (b - 5)(b + 5) $.

1. Раскроем первую пару скобок:

$ (3b - 1)(3b + 1) = (3b)^2 - 1^2 = 9b^2 - 1 $

2. Раскроем вторую пару скобок:

$ (b - 5)(b + 5) = b^2 - 5^2 = b^2 - 25 $

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$ (9b^2 - 1) - (b^2 - 25) $

4. Раскроем скобки:

$ 9b^2 - 1 - b^2 + 25 $

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (9b^2 - b^2) + (-1 + 25) = 8b^2 + 24 $

Ответ: $ 8b^2 + 24 $

г) Здесь мы используем формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $ и формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $.

Исходное выражение: $ (m + 3n)^2 + (m + 3n)(m - 3n) $.

1. Раскроем первую часть $ (m + 3n)^2 $ по формуле квадрата суммы:

$ (m + 3n)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = m^2 + 6mn + 9n^2 $

2. Раскроем вторую часть $ (m + 3n)(m - 3n) $ по формуле разности квадратов:

$ (m + 3n)(m - 3n) = m^2 - (3n)^2 = m^2 - 9n^2 $

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$ (m^2 + 6mn + 9n^2) + (m^2 - 9n^2) $

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ m^2 + 6mn + 9n^2 + m^2 - 9n^2 = (m^2 + m^2) + 6mn + (9n^2 - 9n^2) = 2m^2 + 6mn $

Другой способ решения — вынести общий множитель $ (m+3n) $ за скобки:

$ (m + 3n) \cdot [(m + 3n) + (m - 3n)] = (m + 3n) \cdot (m + 3n + m - 3n) = (m + 3n) \cdot (2m) = 2m^2 + 6mn $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ 2m^2 + 6mn $