Номер 33.40, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Формулы сокращённого умножения. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Часть 2 - номер 33.40, страница 148.

Условие.

33.40 Докажите, что

$(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна нулю. Левая часть представляет собой сумму трех произведений. Каждое произведение имеет вид $(x - y)(x + y)$, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в выражении поочередно.

Для первого слагаемого $(2a - b)(2a + b)$, где $x=2a$ и $y=b$, получаем: $$(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$$

Для второго слагаемого $(b - c)(b + c)$, где $x=b$ и $y=c$, получаем: $$(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$$

Для третьего слагаемого $(c - 2a)(c + 2a)$, где $x=c$ и $y=2a$, получаем: $$(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства: $$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: $$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = (4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2)$$

После приведения подобных слагаемых все члены взаимно уничтожаются: $$0 + 0 + 0 = 0$$

Мы получили, что левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.