Номер 33.46, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.46 а) $(x - 1)(x + 1) = 2(x - 3)^2 - x^2$;

б) $(2x + 3)^2 - 4(x - 1)(x + 1) = 49$;

в) $3(x + 5)^2 - 4x^2 = (2 - x)(2 + x)$;

г) $(3x + 1)^2 - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$.

а)

Решим уравнение $(x - 1)(x + 1) = 2(x - 3)^2 - x^2$.

Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Правая часть: $2(x - 3)^2 - x^2 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - x^2 = 2(x^2 - 6x + 9) - x^2 = 2x^2 - 12x + 18 - x^2 = x^2 - 12x + 18$.

Теперь приравняем обе части:

$x^2 - 1 = x^2 - 12x + 18$.

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-1 = -12x + 18$.

Перенесем $-12x$ в левую часть, а $-1$ в правую, меняя их знаки при переносе:

$12x = 18 + 1$.

$12x = 19$.

Разделим обе части на 12, чтобы найти $x$:

$x = \frac{19}{12}$.

Ответ: $x = \frac{19}{12}$.

б)

Решим уравнение $(2x + 3)^2 - 4(x - 1)(x + 1) = 49$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Первое слагаемое: $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Второе слагаемое: $4(x - 1)(x + 1) = 4(x^2 - 1^2) = 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4$.

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 - 4) = 49$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед ними, который меняет знаки всех членов в скобках:

$4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 4 = 49$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x + 13 = 49$.

Перенесем 13 в правую часть с противоположным знаком:

$12x = 49 - 13$.

$12x = 36$.

Найдем $x$, разделив обе части на 12:

$x = \frac{36}{12} = 3$.

Ответ: $x = 3$.

в)

Решим уравнение $3(x + 5)^2 - 4x^2 = (2 - x)(2 + x)$.

Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения.

Левая часть: $3(x + 5)^2 - 4x^2 = 3(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 4x^2 = 3(x^2 + 10x + 25) - 4x^2 = 3x^2 + 30x + 75 - 4x^2 = -x^2 + 30x + 75$.

Правая часть: $(2 - x)(2 + x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$.

Приравняем левую и правую части:

$-x^2 + 30x + 75 = 4 - x^2$.

Добавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичного члена. Члены $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$30x + 75 = 4$.

Перенесем 75 в правую часть с противоположным знаком:

$30x = 4 - 75$.

$30x = -71$.

Разделим обе части на 30:

$x = -\frac{71}{30}$.

Ответ: $x = -\frac{71}{30}$.

г)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$.

Раскроем скобки. Заметим, что выражение $(3x - 2)(2 + 3x)$ можно переписать как $(3x - 2)(3x + 2)$ для удобства применения формулы разности квадратов.

Первое слагаемое: $(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$.

Второе слагаемое: $(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 4) = 17$.

Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:

$9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 4 = 17$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 5 = 17$.

Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:

$6x = 17 - 5$.

$6x = 12$.

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$x = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $x = 2$.