Номер 33.49, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.49 В прямоугольном параллелепипеде длина на 3 см больше ширины и на 3 см меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $198 \text{ см}^2$.

Пусть длина прямоугольного параллелепипеда равна $a$ см, ширина – $b$ см, а высота – $c$ см.

Исходя из условия задачи, установим соотношения между измерениями:
1. Длина на 3 см больше ширины: $a = b + 3$. Выразим ширину через длину: $b = a - 3$.
2. Длина на 3 см меньше высоты: $a = c - 3$. Выразим высоту через длину: $c = a + 3$.

Таким образом, все три измерения можно выразить через одну переменную $a$:
Длина: $a$
Ширина: $a - 3$
Высота: $a + 3$

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + bc + ac)$
По условию, $S = 198$ см². Подставим в формулу выражения для $a, b, c$ и известное значение площади, чтобы составить уравнение:
$198 = 2(a(a - 3) + (a - 3)(a + 3) + a(a + 3))$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 2:
$99 = a(a - 3) + (a - 3)(a + 3) + a(a + 3)$
Раскроем скобки в правой части. Для произведения $(a - 3)(a + 3)$ применим формулу разности квадратов:
$99 = (a^2 - 3a) + (a^2 - 9) + (a^2 + 3a)$
Приведём подобные слагаемые:
$99 = (a^2 + a^2 + a^2) + (-3a + 3a) - 9$
$99 = 3a^2 - 9$

Теперь найдём $a$:
$3a^2 = 99 + 9$
$3a^2 = 108$
$a^2 = \frac{108}{3}$
$a^2 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$ (берём только положительный корень, так как длина является положительной величиной).

Мы нашли длину параллелепипеда: $a = 6$ см.
Теперь можем найти ширину и высоту:
Ширина: $b = a - 3 = 6 - 3 = 3$ см.
Высота: $c = a + 3 = 6 + 3 = 9$ см.

Итак, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 6 см и 9 см.

Ответ: 3 см, 6 см, 9 см.