Номер 35.8, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 35. Процентные частоты - номер 35.8, страница 156.

Условие.

35.8 Найдите вероятность того, что степень произведения выбранных многочленов:

a) меньше 5; в) равна 3;

б) меньше 1; г) равна 4.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо определить, из какого набора многочленов производится выбор. Так как это не указано в условии, сделаем наиболее вероятное предположение: выбор двух многочленов производится случайным образом, независимо и с возвращением из набора, содержащего по одному многочлену для каждой степени от 0 до 4. То есть, мы выбираем из набора многочленов, степени которых образуют множество $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Пусть $d_1$ — степень первого выбранного многочлена, а $d_2$ — степень второго. Каждая из этих степеней может принимать любое целое значение от 0 до 4 с равной вероятностью. Общее число равновозможных исходов (упорядоченных пар степеней $(d_1, d_2)$) составляет $N = 5 \times 5 = 25$.

Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме их степеней. Обозначим степень произведения как $S$. Таким образом, $S = d_1 + d_2$. Нам нужно найти вероятности для различных значений $S$.

а) меньше 5

Требуется найти вероятность того, что степень произведения меньше 5, то есть $S < 5$. Это означает, что $S$ может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Подсчитаем количество благоприятных исходов (пар $(d_1, d_2)$) для каждого из этих значений суммы:
- Сумма равна 0: пара (0, 0) — 1 исход.
- Сумма равна 1: пары (0, 1), (1, 0) — 2 исхода.
- Сумма равна 2: пары (0, 2), (1, 1), (2, 0) — 3 исхода.
- Сумма равна 3: пары (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) — 4 исхода.
- Сумма равна 4: пары (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0) — 5 исходов.
Общее число благоприятных исходов $M_a$ равно сумме количеств исходов для каждого значения: $M_a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
Вероятность события А (степень меньше 5) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б) меньше 1

Требуется найти вероятность того, что степень произведения меньше 1, то есть $S < 1$. Так как степени многочленов являются неотрицательными целыми числами, единственное значение, удовлетворяющее этому условию, — это $S=0$.
Сумма степеней равна 0 ($d_1 + d_2 = 0$) только в одном случае: когда обе степени равны 0. Этому соответствует одна пара (0, 0).
Число благоприятных исходов $M_b = 1$.
Вероятность события B (степень меньше 1): $P(B) = \frac{M_b}{N} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$

в) равна 3

Требуется найти вероятность того, что степень произведения равна 3, то есть $S = 3$.
Найдём все пары $(d_1, d_2)$, где $d_1, d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, сумма которых равна 3:
(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0).
Всего таких пар 4. Число благоприятных исходов $M_c = 4$.
Вероятность события C (степень равна 3): $P(C) = \frac{M_c}{N} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$

г) равна 4

Требуется найти вероятность того, что степень произведения равна 4, то есть $S = 4$.
Найдём все пары $(d_1, d_2)$, где $d_1, d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, сумма которых равна 4:
(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0).
Всего таких пар 5. Число благоприятных исходов $M_d = 5$.
Вероятность события D (степень равна 4): $P(D) = \frac{M_d}{N} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$