Номер 1, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Линейные уравнения с одной переменной.

Определение и общий вид

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Число $a$ называется коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.

Решить уравнение — значит найти все его корни (решения) или доказать, что корней нет. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Любое уравнение, которое можно свести к виду $ax = b$ путем алгебраических преобразований, является линейным.

Исследование решения уравнения $ax = b$

Количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$.

1. Если $a \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень. Чтобы его найти, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $a$:
$x = \frac{b}{a}$.

2. Если $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней. Любое число является его корнем.

3. Если $a = 0$ и $b \neq 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$, так как произведение нуля на любое число равно нулю, а $b$ не равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения линейного уравнения

Для решения уравнений, которые сводятся к линейным, можно использовать следующий алгоритм:

1. Раскрыть все скобки, если они есть в уравнении, и избавиться от знаменателей, если это необходимо.

2. Собрать слагаемые, содержащие переменную, в левой части уравнения, а слагаемые, не содержащие переменную (свободные члены), — в правой части. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

3. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения. В результате уравнение примет вид $ax = b$.

4. Найти корень уравнения, проанализировав значения $a$ и $b$ (как описано в предыдущем пункте).

Примеры решения

Пример 1. Решить уравнение $5x - 15 = 0$.

Приведем уравнение к виду $ax=b$.

Перенесем свободный член $-15$ в правую часть, изменив знак:
$5x = 15$

Здесь $a=5, b=15$. Так как $a \neq 0$, делим обе части на $5$:
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

Ответ: $3$

Пример 2. Решить уравнение $7x + 4 = 3x - 8$.

1. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Слагаемое $3x$ переносим влево со знаком минус, а $4$ — вправо со знаком минус.
$7x - 3x = -8 - 4$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$4x = -12$

3. Разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $4$:
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$

Ответ: $-3$

Пример 3. Решить уравнение $3(x - 2) - 5(x + 1) = -17$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$3 \cdot x + 3 \cdot (-2) - 5 \cdot x - 5 \cdot 1 = -17$
$3x - 6 - 5x - 5 = -17$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3x - 5x) + (-6 - 5) = -17$
$-2x - 11 = -17$

3. Перенесем свободный член $-11$ в правую часть со знаком плюс:
$-2x = -17 + 11$
$-2x = -6$

4. Разделим обе части на $-2$:
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$

Ответ: $3$

Пример 4. Решить уравнение $\frac{x-1}{3} + 2 = \frac{x+8}{6}$.

1. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ и $6$, то есть на $6$:
$6 \cdot (\frac{x-1}{3} + 2) = 6 \cdot \frac{x+8}{6}$
$6 \cdot \frac{x-1}{3} + 6 \cdot 2 = x+8$
$2(x-1) + 12 = x+8$

2. Раскроем скобки:
$2x - 2 + 12 = x+8$
$2x + 10 = x+8$

3. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо:
$2x - x = 8 - 10$

4. Приведем подобные слагаемые:
$x = -2$

Ответ: $-2$

Пример 5. Решить уравнение $4(x-1) = 4x+5$.

1. Раскроем скобки в левой части:
$4x - 4 = 4x + 5$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 4x = 5 + 4$

3. Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = 9$

Получилось уравнение вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Такое равенство не может быть верным ни при каком значении $x$.

Ответ: корней нет

Пример 6. Решить уравнение $2(3x - 1) = 6x - 2$.

1. Раскроем скобки в левой части:
$6x - 2 = 6x - 2$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$6x - 6x = -2 + 2$

3. Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = 0$

Получилось уравнение вида $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое число