Номер 8, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Каждую вершину квадрата соединили отрезком с каждой.

Сколько провели отрезков?

У квадрата 4 вершины. Задача состоит в том, чтобы найти общее количество отрезков, которые можно провести, соединяя каждую пару из этих 4 вершин. Для решения можно использовать два подхода.

Способ 1: Логический пересчет
Давайте мысленно пронумеруем вершины квадрата: 1, 2, 3 и 4.

• Из вершины 1 можно провести отрезки к 3 другим вершинам (2, 3 и 4). Это 3 отрезка.
• Из вершины 2 можно провести 2 новых отрезка к вершинам 3 и 4. Отрезок к вершине 1 мы уже учли.
• Из вершины 3 можно провести 1 новый отрезок к вершине 4. Отрезки к вершинам 1 и 2 уже посчитаны.
• Из вершины 4 все отрезки (к 1, 2 и 3) уже были проведены и учтены.

Сложим количество полученных отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.
Геометрически эти 6 отрезков являются 4 сторонами квадрата и 2 его диагоналями.

Способ 2: Использование формулы из комбинаторики
Каждый отрезок определяется выбором двух вершин из четырех имеющихся. Порядок вершин в паре не важен (отрезок А-Б — это тот же самый отрезок, что и Б-А). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашей задаче общее число вершин $n=4$, а для построения одного отрезка мы выбираем $k=2$ вершины.
Подставим эти значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6