Номер 2, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Линейные уравнения являются одним из фундаментальных инструментов математики, который позволяет описывать и решать множество задач из реальной жизни. Процесс перевода практической задачи на язык математики называется математическим моделированием. В результате этого процесса создается математическая модель — упрощенное представление реальной ситуации с помощью математических понятий и соотношений, в данном случае — с помощью линейных уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная (неизвестная величина), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Решить такое уравнение — значит найти значение $x$, при котором равенство будет верным. Линейные уравнения получили свое название потому, что их графиком на координатной плоскости (для уравнений с двумя переменными вида $ax + by = c$) является прямая линия.

Этапы математического моделирования

Решение практической задачи с помощью линейного уравнения обычно состоит из трех основных этапов:

1. Составление математической модели. На этом этапе необходимо:
- Внимательно прочитать и проанализировать условие задачи.
- Определить, какая величина является неизвестной, и обозначить ее переменной (чаще всего $x$).
- Выразить остальные величины, упомянутые в задаче, через эту переменную, используя данные условия.
- Установить связь между величинами и составить уравнение, которое описывает эту связь.

2. Работа с математической моделью. Этот этап заключается в решении составленного уравнения. Используя алгебраические преобразования (перенос слагаемых, приведение подобных членов, деление обеих частей на коэффициент при $x$ и т.д.), находят корень уравнения.

3. Ответ на вопрос задачи. Найденный корень уравнения нужно проанализировать и интерпретировать в контексте исходной задачи. Необходимо проверить, имеет ли полученное значение смысл (например, скорость не может быть отрицательной, количество людей — дробным). После этого формулируется окончательный ответ на вопрос задачи.

Примеры решения задач

Рассмотрим, как этот процесс применяется на практике.

Задача 1: Задача на покупки

В магазине купили 4 ручки и 2 блокнота, заплатив за всю покупку 180 рублей. Известно, что блокнот стоит на 15 рублей дороже ручки. Сколько стоит одна ручка и один блокнот?

Решение:
1. Составление модели.
Пусть цена одной ручки равна $x$ рублей.
Тогда цена одного блокнота, который на 15 рублей дороже, равна $(x + 15)$ рублей.
Стоимость 4 ручек составляет $4x$ рублей.
Стоимость 2 блокнотов составляет $2(x + 15)$ рублей.
Общая стоимость покупки — 180 рублей. Составляем уравнение:
$4x + 2(x + 15) = 180$

2. Решение уравнения.
Раскроем скобки: $4x + 2x + 30 = 180$
Приведем подобные слагаемые: $6x + 30 = 180$
Перенесем 30 в правую часть: $6x = 180 - 30$
$6x = 150$
Найдем $x$: $x = 150 / 6$
$x = 25$

3. Интерпретация результата.
Мы получили $x = 25$. Так как $x$ — это цена ручки в рублях, то цена ручки — 25 рублей. Это положительное число, что логично для цены. Цена блокнота тогда будет $25 + 15 = 40$ рублей. Проверим: $4 \cdot 25 + 2 \cdot 40 = 100 + 80 = 180$. Все верно.

Ответ: одна ручка стоит 25 рублей, а один блокнот — 40 рублей.

Задача 2: Задача на движение

Из двух городов, расстояние между которыми 465 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля, если они встретились через 3 часа.

Решение:
1. Составление модели.
Пусть скорость второго автомобиля равна $v$ км/ч.
Тогда скорость первого автомобиля равна $(v + 10)$ км/ч.
Скорость сближения автомобилей равна сумме их скоростей: $v + (v + 10) = (2v + 10)$ км/ч.
Расстояние равно произведению скорости сближения на время в пути: $S = v_{сбл} \cdot t$.
Подставляем известные значения. Время $t = 3$ ч, расстояние $S = 465$ км. Получаем уравнение:
$(2v + 10) \cdot 3 = 465$

2. Решение уравнения.
Разделим обе части на 3: $2v + 10 = 155$
Перенесем 10 в правую часть: $2v = 155 - 10$
$2v = 145$
Найдем $v$: $v = 145 / 2$
$v = 72.5$

3. Интерпретация результата.
Мы получили $v = 72.5$. Так как $v$ — это скорость второго автомобиля, то его скорость равна 72,5 км/ч. Скорость — положительная величина, так что результат имеет смысл.
Тогда скорость первого автомобиля: $72.5 + 10 = 82.5$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 82,5 км/ч, скорость второго автомобиля — 72,5 км/ч.

Таким образом, линейные уравнения предоставляют универсальный язык для описания зависимостей между различными величинами. Умение составлять и решать такие уравнения является ключевым навыком для анализа и решения широкого круга практических задач из физики, экономики, химии и повседневной жизни.