Номер 8, страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 8, страница 6.

Условие.

8. Сформулируйте признак делимости на:

а) $10$;

б) $5$;

в) $2$;

г) $3$;

д) $9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) 10;
Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — ноль.
Объяснение: Любое целое число $N$ можно представить в виде суммы $N = 10k + d$, где $d$ — это последняя цифра числа, а $k$ — число, образованное всеми предыдущими цифрами. Например, для числа 345, $k=34$ и $d=5$. Слагаемое $10k$ очевидно делится на 10. Значит, чтобы вся сумма делилась на 10, необходимо, чтобы и второе слагаемое $d$ делилось на 10. Среди цифр от 0 до 9 на 10 делится только 0. Следовательно, число делится на 10 только в том случае, если оно оканчивается на 0.
Ответ: Число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.

б) 5;
Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.
Объяснение: Как и в предыдущем пункте, представим число в виде $N = 10k + d$. Слагаемое $10k$ делится на 5, поскольку $10 = 2 \cdot 5$. Таким образом, делимость числа $N$ на 5 целиком зависит от делимости его последней цифры $d$ на 5. Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5.
Ответ: Число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.

в) 2;
Число делится на 2 без остатка (является чётным), если его последняя цифра — чётная (0, 2, 4, 6, 8).
Объяснение: Снова используем представление $N = 10k + d$. Слагаемое $10k$ всегда делится на 2, так как 10 — чётное число. Следовательно, число $N$ будет делиться на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра $d$ делится на 2. Цифры, которые делятся на 2, — это 0, 2, 4, 6 и 8.
Ответ: Число делится на 2, если его запись оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6 или 8).

г) 3;
Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
Объяснение: Рассмотрим любое число, например, трёхзначное $N = 100a + 10b + c$. Его можно представить так: $N = (99a + a) + (9b + b) + c = (99a + 9b) + (a+b+c)$. Первое слагаемое $(99a + 9b)$ всегда делится на 3, так как 99 и 9 делятся на 3. Значит, делимость числа $N$ на 3 зависит только от делимости второго слагаемого $(a+b+c)$, которое является суммой цифр исходного числа. Этот же принцип применим для числа с любым количеством знаков. Например, для числа 273 сумма цифр равна $2+7+3=12$. Поскольку 12 делится на 3, то и число 273 делится на 3 ($273 / 3 = 91$).
Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

д) 9.
Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.
Объяснение: Логика этого признака очень похожа на признак делимости на 3. Рассмотрим число $N = 100a + 10b + c$. Представим его как $N = (99a + 9b) + (a+b+c)$. Первое слагаемое $(99a + 9b)$ всегда делится на 9, так как коэффициенты 99 и 9 делятся на 9. Следовательно, делимость числа $N$ на 9 зависит исключительно от того, делится ли на 9 сумма его цифр $(a+b+c)$. Например, для числа 783 сумма цифр равна $7+8+3=18$. Поскольку 18 делится на 9, то и число 783 делится на 9 ($783 / 9 = 87$).
Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.