Номер 1.154, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.154. Выполните действия:

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$;

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$.

Запишите сумму в стандартном виде, оставляя после запятой 1 и 2 значащие цифры. Найдите абсолютную и относительную погрешности этих приближенных значений.

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$

Сначала выполним сложение. Для этого вынесем общий множитель $10^7$ за скобки:

$(4,125 + 9,29) \cdot 10^7 = 13,415 \cdot 10^7$

Запишем полученное число в стандартном виде. Стандартный вид числа — это $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.

$13,415 \cdot 10^7 = 1,3415 \cdot 10^1 \cdot 10^7 = 1,3415 \cdot 10^8$.

Это точное значение суммы, обозначим его $x$. Итак, $x = 1,3415 \cdot 10^8$.

Приближенное значение с 1 значащей цифрой после запятой:

Округляем мантиссу $1,3415$ до одной цифры после запятой, получаем $1,3$.

Приближенное значение $a_1 = 1,3 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность этого приближения равна модулю разности между точным и приближенным значениями:

$\Delta a_1 = |x - a_1| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,3 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,3) \cdot 10^8| = 0,0415 \cdot 10^8 = 4,15 \cdot 10^6$.

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к модулю точного значения:

$\epsilon_1 = \frac{\Delta a_1}{|x|} = \frac{0,0415 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0415}{1,3415} \approx 0,0309355... \approx 3,1\%$.

Приближенное значение с 2 значащими цифрами после запятой:

Округляем мантиссу $1,3415$ до двух цифр после запятой, получаем $1,34$.

Приближенное значение $a_2 = 1,34 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность:

$\Delta a_2 = |x - a_2| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,34 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,34) \cdot 10^8| = 0,0015 \cdot 10^8 = 1,5 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность:

$\epsilon_2 = \frac{\Delta a_2}{|x|} = \frac{0,0015 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0015}{1,3415} \approx 0,0011181... \approx 0,11\%$.

Ответ: для приближения $1,3 \cdot 10^8$ абсолютная погрешность равна $4,15 \cdot 10^6$, относительная $\approx 3,1\%$; для приближения $1,34 \cdot 10^8$ абсолютная погрешность равна $1,5 \cdot 10^5$, относительная $\approx 0,11\%$.

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$

Выполним сложение, вынеся общий множитель $10^{-5}$ за скобки:

$(8,927 + 5,32) \cdot 10^{-5} = 14,247 \cdot 10^{-5}$

Приведем результат к стандартному виду:

$14,247 \cdot 10^{-5} = 1,4247 \cdot 10^1 \cdot 10^{-5} = 1,4247 \cdot 10^{-4}$.

Это точное значение суммы, обозначим его $x$. Итак, $x = 1,4247 \cdot 10^{-4}$.

Приближенное значение с 1 значащей цифрой после запятой:

Округляем мантиссу $1,4247$ до одной цифры после запятой, получаем $1,4$.

Приближенное значение $a_1 = 1,4 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность:

$\Delta a_1 = |x - a_1| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,4 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,4) \cdot 10^{-4}| = 0,0247 \cdot 10^{-4} = 2,47 \cdot 10^{-6}$.

Относительная погрешность:

$\epsilon_1 = \frac{\Delta a_1}{|x|} = \frac{0,0247 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0247}{1,4247} \approx 0,017337... \approx 1,73\%$.

Приближенное значение с 2 значащими цифрами после запятой:

Округляем мантиссу $1,4247$ до двух цифр после запятой, получаем $1,42$.

Приближенное значение $a_2 = 1,42 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность:

$\Delta a_2 = |x - a_2| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,42 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,42) \cdot 10^{-4}| = 0,0047 \cdot 10^{-4} = 4,7 \cdot 10^{-7}$.

Относительная погрешность:

$\epsilon_2 = \frac{\Delta a_2}{|x|} = \frac{0,0047 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0047}{1,4247} \approx 0,00330... \approx 0,33\%$.

Ответ: для приближения $1,4 \cdot 10^{-4}$ абсолютная погрешность равна $2,47 \cdot 10^{-6}$, относительная $\approx 1,73\%$; для приближения $1,42 \cdot 10^{-4}$ абсолютная погрешность равна $4,7 \cdot 10^{-7}$, относительная $\approx 0,33\%$.