Номер 1.159, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.159. Какое из двух приближенных значений числа $\frac{2}{11}$ точнее: 0,18 или 0,19?

Чтобы определить, какое из двух приближенных значений точнее, необходимо найти, какое из них находится ближе к исходному числу. Для этого мы вычислим абсолютную погрешность для каждого приближения, то есть модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением. Чем меньше абсолютная погрешность, тем точнее приближение.

Исходное число — это дробь $\frac{2}{11}$. Переведем ее в десятичную дробь путем деления числителя на знаменатель:

$\frac{2}{11} = 2 \div 11 = 0,181818... = 0,(18)$.

Теперь найдем абсолютную погрешность для первого приближенного значения, 0,18.

$|\frac{2}{11} - 0,18| = |0,(18) - 0,18| = |0,181818... - 0,18| = 0,001818...$

Для точности выполним вычисления в обыкновенных дробях:

$0,18 = \frac{18}{100} = \frac{9}{50}$

$|\frac{2}{11} - \frac{9}{50}| = |\frac{2 \cdot 50}{11 \cdot 50} - \frac{9 \cdot 11}{50 \cdot 11}| = |\frac{100}{550} - \frac{99}{550}| = |\frac{100 - 99}{550}| = \frac{1}{550}$.

Далее найдем абсолютную погрешность для второго приближенного значения, 0,19.

$|\frac{2}{11} - 0,19| = |0,(18) - 0,19| = |0,181818... - 0,19| = |-0,008181...| = 0,008181...$

Выполним вычисления в обыкновенных дробях:

$0,19 = \frac{19}{100}$

$|\frac{2}{11} - \frac{19}{100}| = |\frac{2 \cdot 100}{11 \cdot 100} - \frac{19 \cdot 11}{100 \cdot 11}| = |\frac{200}{1100} - \frac{209}{1100}| = |\frac{200 - 209}{1100}| = |\frac{-9}{1100}| = \frac{9}{1100}$.

Осталось сравнить полученные погрешности: $\frac{1}{550}$ и $\frac{9}{1100}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 1100:

$\frac{1}{550} = \frac{1 \cdot 2}{550 \cdot 2} = \frac{2}{1100}$.

Теперь сравним дроби $\frac{2}{1100}$ и $\frac{9}{1100}$.

Так как $2 < 9$, то $\frac{2}{1100} < \frac{9}{1100}$.

Следовательно, погрешность для приближения 0,18 меньше, чем для приближения 0,19.

$|\frac{2}{11} - 0,18| < |\frac{2}{11} - 0,19|$.

Это означает, что приближенное значение 0,18 находится ближе к точному значению числа $\frac{2}{11}$, а значит, является более точным.

Ответ: 0,18.