Номер 1.155, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.155. Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические дроби и найдите их десятичные приближения до сотых. Найдите абсолютную погрешность приближенного числа:

1) $3\frac{2}{3}$;

2) $2\frac{5}{6}$;

3) $4\frac{10}{11}$;

4) $3\frac{1}{12}$.

1) Переведем обыкновенную дробь $3\frac{2}{3}$ в десятичную периодическую дробь. Для этого разделим числитель дробной части на знаменатель: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Таким образом, $3\frac{2}{3} = 3,(6)$.

Теперь найдем десятичное приближение до сотых. Округляем число $3,666...$ до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой равна 6 (что больше или равно 5), округляем в большую сторону: $3,(6) \approx 3,67$.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и приближенным:

$|3\frac{2}{3} - 3,67| = |3\frac{2}{3} - 3\frac{67}{100}| = |\frac{11}{3} - \frac{367}{100}| = |\frac{1100 - 1101}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3\frac{2}{3} = 3,(6)$; $3\frac{2}{3} \approx 3,67$; абсолютная погрешность равна $\frac{1}{300}$.

2) Переведем обыкновенную дробь $2\frac{5}{6}$ в десятичную периодическую дробь. Разделим числитель дробной части на знаменатель: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$.

Таким образом, $2\frac{5}{6} = 2,8(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем число $2,8333...$ до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой равна 3 (что меньше 5), округляем в меньшую сторону (отбрасываем хвост): $2,8(3) \approx 2,83$.

Абсолютная погрешность:

$|2\frac{5}{6} - 2,83| = |2\frac{5}{6} - 2\frac{83}{100}| = |\frac{17}{6} - \frac{283}{100}| = |\frac{17 \cdot 50 - 283 \cdot 3}{300}| = |\frac{850 - 849}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $2\frac{5}{6} = 2,8(3)$; $2\frac{5}{6} \approx 2,83$; абсолютная погрешность равна $\frac{1}{300}$.

3) Переведем обыкновенную дробь $4\frac{10}{11}$ в десятичную периодическую дробь. Разделим $10$ на $11$: $10 \div 11 = 0,9090... = 0,(90)$.

Таким образом, $4\frac{10}{11} = 4,(90)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем число $4,9090...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой равна 9 (что больше или равно 5), поэтому округляем в большую сторону: $4,(90) \approx 4,91$.

Абсолютная погрешность:

$|4\frac{10}{11} - 4,91| = |4\frac{10}{11} - 4\frac{91}{100}| = |\frac{54}{11} - \frac{491}{100}| = |\frac{5400 - 5401}{1100}| = |-\frac{1}{1100}| = \frac{1}{1100}$.

Ответ: $4\frac{10}{11} = 4,(90)$; $4\frac{10}{11} \approx 4,91$; абсолютная погрешность равна $\frac{1}{1100}$.

4) Переведем обыкновенную дробь $3\frac{1}{12}$ в десятичную периодическую дробь. Разделим $1$ на $12$: $1 \div 12 = 0,08333... = 0,08(3)$.

Таким образом, $3\frac{1}{12} = 3,08(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем число $3,08333...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой равна 3 (что меньше 5), поэтому округляем в меньшую сторону: $3,08(3) \approx 3,08$.

Абсолютная погрешность:

$|3\frac{1}{12} - 3,08| = |3\frac{1}{12} - 3\frac{8}{100}| = |\frac{37}{12} - \frac{308}{100}| = |\frac{37}{12} - \frac{77}{25}| = |\frac{37 \cdot 25 - 77 \cdot 12}{300}| = |\frac{925 - 924}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3\frac{1}{12} = 3,08(3)$; $3\frac{1}{12} \approx 3,08$; абсолютная погрешность равна $\frac{1}{300}$.