Номер 1.156, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.156. Округлите данные числа до сотых и найдите относительную по-грешность приближенного значения:

1) $3,(6)$;

2) $2,7(2)$;

3) $2,(72)$;

4) $2,89(3)$.

Для решения задачи необходимо для каждого числа выполнить следующие шаги:

1. Представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. Это будет точное значение числа, которое мы обозначим как $x$.
2. Округлить данное число до сотых. Это будет приближенное значение, которое мы обозначим как $a$.
3. Вычислить абсолютную погрешность как модуль разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a|$.
4. Вычислить относительную погрешность по формуле $\delta = \frac{\Delta}{|x|}$.

1) 3,(6);

1. Найдем точное значение $x = 3,(6)$.

Пусть $x = 3,666...$. Тогда $10x = 36,666...$.

$10x - x = 36,666... - 3,666... \implies 9x = 33 \implies x = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.

2. Округлим $3,666...$ до сотых. Третья цифра после запятой - 6, поэтому вторую цифру увеличиваем на 1.

$a = 3,67$.

3. Найдем абсолютную погрешность.

$\Delta = |x - a| = |\frac{11}{3} - 3,67| = |\frac{11}{3} - \frac{367}{100}| = |\frac{1100 - 1101}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

4. Найдем относительную погрешность.

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{11/3} = \frac{1}{300} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{3300} = \frac{1}{1100}$.

Ответ: 3,67; $\frac{1}{1100}$.

2) 2,7(2);

1. Найдем точное значение $x = 2,7(2)$.

Пусть $x = 2,722...$. Тогда $10x = 27,222...$ и $100x = 272,222...$.

$100x - 10x = 272,222... - 27,222... \implies 90x = 245 \implies x = \frac{245}{90} = \frac{49}{18}$.

2. Округлим $2,722...$ до сотых. Третья цифра после запятой - 2, поэтому вторую цифру оставляем без изменений.

$a = 2,72$.

3. Найдем абсолютную погрешность.

$\Delta = |x - a| = |\frac{49}{18} - 2,72| = |\frac{49}{18} - \frac{272}{100}| = |\frac{49}{18} - \frac{68}{25}| = |\frac{49 \cdot 25 - 68 \cdot 18}{450}| = |\frac{1225 - 1224}{450}| = \frac{1}{450}$.

4. Найдем относительную погрешность.

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/450}{49/18} = \frac{1}{450} \cdot \frac{18}{49} = \frac{1}{25 \cdot 49} = \frac{1}{1225}$.

Ответ: 2,72; $\frac{1}{1225}$.

3) 2,(72);

1. Найдем точное значение $x = 2,(72)$.

Пусть $x = 2,7272...$. Тогда $100x = 272,7272...$.

$100x - x = 272,7272... - 2,7272... \implies 99x = 270 \implies x = \frac{270}{99} = \frac{30}{11}$.

2. Округлим $2,7272...$ до сотых. Третья цифра после запятой - 7, поэтому вторую цифру увеличиваем на 1.

$a = 2,73$.

3. Найдем абсолютную погрешность.

$\Delta = |x - a| = |\frac{30}{11} - 2,73| = |\frac{30}{11} - \frac{273}{100}| = |\frac{3000 - 273 \cdot 11}{1100}| = |\frac{3000 - 3003}{1100}| = |-\frac{3}{1100}| = \frac{3}{1100}$.

4. Найдем относительную погрешность.

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{3/1100}{30/11} = \frac{3}{1100} \cdot \frac{11}{30} = \frac{1}{100 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: 2,73; $\frac{1}{1000}$.

4) 2,89(3);

1. Найдем точное значение $x = 2,89(3)$.

Пусть $x = 2,8933...$. Тогда $100x = 289,333...$ и $1000x = 2893,333...$.

$1000x - 100x = 2893,333... - 289,333... \implies 900x = 2604 \implies x = \frac{2604}{900} = \frac{217}{75}$.

2. Округлим $2,8933...$ до сотых. Третья цифра после запятой - 3, поэтому вторую цифру оставляем без изменений.

$a = 2,89$.

3. Найдем абсолютную погрешность.

$\Delta = |x - a| = |\frac{217}{75} - 2,89| = |\frac{217}{75} - \frac{289}{100}| = |\frac{217 \cdot 4 - 289 \cdot 3}{300}| = |\frac{868 - 867}{300}| = \frac{1}{300}$.

4. Найдем относительную погрешность.

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{217/75} = \frac{1}{300} \cdot \frac{75}{217} = \frac{1}{4 \cdot 217} = \frac{1}{868}$.

Ответ: 2,89; $\frac{1}{868}$.