Номер 1.158, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.158. Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2 \frac{2}{3}$ с точностью до 0,01. Какое из них является приближенным значением с точностью до 0,005?

Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

Чтобы показать, что число $a$ является приближенным значением числа $x$ с точностью до $h$, необходимо доказать, что выполняется неравенство $|x - a| < h$.

В нашем случае $x = 2\frac{2}{3}$ и $h = 0,01$.

Проверим это условие для каждого из заданных чисел, используя вычисления с обыкновенными дробями.

1. Для числа 2,66:

Найдем модуль разности (абсолютную погрешность):

$|2\frac{2}{3} - 2,66| = |\frac{8}{3} - \frac{266}{100}| = |\frac{8}{3} - \frac{133}{50}| = |\frac{8 \cdot 50 - 133 \cdot 3}{150}| = |\frac{400 - 399}{150}| = \frac{1}{150}$.

Теперь сравним полученную погрешность $\frac{1}{150}$ с точностью $0,01 = \frac{1}{100}$.

Так как $150 > 100$, то $\frac{1}{150} < \frac{1}{100}$.

Следовательно, $|2\frac{2}{3} - 2,66| < 0,01$. Это означает, что 2,66 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

2. Для числа 2,67:

Найдем модуль разности:

$|2\frac{2}{3} - 2,67| = |\frac{8}{3} - \frac{267}{100}| = |\frac{8 \cdot 100 - 267 \cdot 3}{300}| = |\frac{800 - 801}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Сравним погрешность $\frac{1}{300}$ с точностью $0,01 = \frac{1}{100}$.

Так как $300 > 100$, то $\frac{1}{300} < \frac{1}{100}$.

Следовательно, $|2\frac{2}{3} - 2,67| < 0,01$. Это означает, что 2,67 также является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

Ответ: Мы показали, что $|2\frac{2}{3} - 2,66| = \frac{1}{150} < 0,01$ и $|2\frac{2}{3} - 2,67| = \frac{1}{300} < 0,01$, поэтому оба числа являются приближенными значениями с требуемой точностью.

Какое из них является приближенным значением с точностью до 0,005?

Теперь необходимо проверить, для какого из чисел выполняется неравенство с новой точностью $h = 0,005$.

Представим точность в виде обыкновенной дроби: $0,005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$.

Мы уже вычислили абсолютные погрешности для каждого числа, теперь сравним их с $\frac{1}{200}$.

1. Для числа 2,66:

Абсолютная погрешность равна $\frac{1}{150}$. Сравним ее с $\frac{1}{200}$.

Так как знаменатель $150 < 200$, то дробь $\frac{1}{150} > \frac{1}{200}$.

Таким образом, $|2\frac{2}{3} - 2,66| > 0,005$, значит, 2,66 не является приближенным значением с точностью до 0,005.

2. Для числа 2,67:

Абсолютная погрешность равна $\frac{1}{300}$. Сравним ее с $\frac{1}{200}$.

Так как знаменатель $300 > 200$, то дробь $\frac{1}{300} < \frac{1}{200}$.

Таким образом, $|2\frac{2}{3} - 2,67| < 0,005$, значит, 2,67 является приближенным значением с точностью до 0,005.

Ответ: Число 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,005.