Номер 1.157, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.157. Результаты вычислений из упражнения 1.144 запишите в стандартном виде так, чтобы после запятой оставались 1, 2 и 3 значащие цифры. Найдите их относительные погрешности.

Для решения этой задачи необходимо сначала выполнить вычисления из упражнения 1.144, а затем для каждого результата найти приближенные значения и их относительные погрешности. Условие "чтобы после запятой оставались 1, 2 и 3 значащие цифры" является нестандартной формулировкой. Наиболее вероятно, имеется в виду округление результата до 1, 2 и 3 значащих цифр в целом, что является стандартной практикой при работе с приближенными числами. Будем следовать этой интерпретации.

Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле $\delta = \frac{|\Delta x|}{|x|} = \frac{|x_{прибл} - x_{точное}|}{|x_{точное}|}$, где $x_{точное}$ — результат вычислений, а $x_{прибл}$ — округленное значение.

a)

Результат вычисления из упражнения 1.144a: $S = a \cdot b = 4.5 \cdot 12.45 = 56.025$.

Выполним округление и найдем погрешности.

С 1 значащей цифрой:

Приближенное значение $S_1$, округленное до одной значащей цифры: $S_1 = 60$.

Стандартный вид: $6 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|60 - 56.025|}{56.025} = \frac{3.975}{56.025} \approx 0.07095$.

С 2 значащими цифрами:

Приближенное значение $S_2$, округленное до двух значащих цифр: $S_2 = 56$.

Стандартный вид: $5.6 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|56 - 56.025|}{56.025} = \frac{0.025}{56.025} \approx 0.000446$.

С 3 значащими цифрами:

Приближенное значение $S_3$, округленное до трех значащих цифр: $S_3 = 56.0$.

Стандартный вид: $5.60 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|56.0 - 56.025|}{56.025} = \frac{0.025}{56.025} \approx 0.000446$.

Ответ: для 1 значащей цифры: $6 \cdot 10^1$, $\delta_1 \approx 7.1\%$; для 2 значащих цифр: $5.6 \cdot 10^1$, $\delta_2 \approx 0.045\%$; для 3 значащих цифр: $5.60 \cdot 10^1$, $\delta_3 \approx 0.045\%$.

b)

Результат вычисления из упражнения 1.144b: $l = 2 \pi R = 2 \cdot \pi \cdot 8.4$. Используем более точное значение $\pi$.

$l = 16.8 \pi \approx 52.778756...$

Выполним округление и найдем погрешности.

С 1 значащей цифрой:

Приближенное значение $l_1$, округленное до одной значащей цифры: $l_1 = 50$.

Стандартный вид: $5 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|50 - 52.7787...|}{52.7787...} \approx 0.05265$.

С 2 значащими цифрами:

Приближенное значение $l_2$, округленное до двух значащих цифр: $l_2 = 53$.

Стандартный вид: $5.3 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|53 - 52.7787...|}{52.7787...} \approx 0.00419$.

С 3 значащими цифрами:

Приближенное значение $l_3$, округленное до трех значащих цифр: $l_3 = 52.8$.

Стандартный вид: $5.28 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|52.8 - 52.7787...|}{52.7787...} \approx 0.0004025$.

Ответ: для 1 значащей цифры: $5 \cdot 10^1$, $\delta_1 \approx 5.3\%$; для 2 значащих цифр: $5.3 \cdot 10^1$, $\delta_2 \approx 0.42\%$; для 3 значащих цифр: $5.28 \cdot 10^1$, $\delta_3 \approx 0.040\%$.

c)

Результат вычисления из упражнения 1.144c: $V = a^3 = (0.42)^3 = 0.074088$.

Выполним округление и найдем погрешности.

С 1 значащей цифрой:

Приближенное значение $V_1$, округленное до одной значащей цифры: $V_1 = 0.07$.

Стандартный вид: $7 \cdot 10^{-2}$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|0.07 - 0.074088|}{0.074088} = \frac{0.004088}{0.074088} \approx 0.05518$.

С 2 значащими цифрами:

Приближенное значение $V_2$, округленное до двух значащих цифр: $V_2 = 0.074$.

Стандартный вид: $7.4 \cdot 10^{-2}$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|0.074 - 0.074088|}{0.074088} = \frac{0.000088}{0.074088} \approx 0.001188$.

С 3 значащими цифрами:

Приближенное значение $V_3$, округленное до трех значащих цифр: $V_3 = 0.0741$.

Стандартный вид: $7.41 \cdot 10^{-2}$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|0.0741 - 0.074088|}{0.074088} = \frac{0.000012}{0.074088} \approx 0.0001619$.

Ответ: для 1 значащей цифры: $7 \cdot 10^{-2}$, $\delta_1 \approx 5.5\%$; для 2 значащих цифр: $7.4 \cdot 10^{-2}$, $\delta_2 \approx 0.12\%$; для 3 значащих цифр: $7.41 \cdot 10^{-2}$, $\delta_3 \approx 0.016\%$.

d)

Результат вычисления из упражнения 1.144d: $v = s/t = 203 / 14.2 = 1015 / 71 \approx 14.2957746...$

Выполним округление и найдем погрешности.

С 1 значащей цифрой:

Приближенное значение $v_1$, округленное до одной значащей цифры: $v_1 = 10$.

Стандартный вид: $1 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|10 - 1015/71|}{1015/71} = \frac{|710 - 1015|}{1015} = \frac{305}{1015} \approx 0.3005$.

С 2 значащими цифрами:

Приближенное значение $v_2$, округленное до двух значащих цифр: $v_2 = 14$.

Стандартный вид: $1.4 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|14 - 1015/71|}{1015/71} = \frac{|14 \cdot 71 - 1015|}{1015} = \frac{|994 - 1015|}{1015} = \frac{21}{1015} \approx 0.02069$.

С 3 значащими цифрами:

Приближенное значение $v_3$, округленное до трех значащих цифр: $v_3 = 14.3$.

Стандартный вид: $1.43 \cdot 10^1$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|14.3 - 1015/71|}{1015/71} = \frac{|14.3 \cdot 71 - 1015|}{1015} = \frac{|1015.3 - 1015|}{1015} = \frac{0.3}{1015} \approx 0.0002956$.

Ответ: для 1 значащей цифры: $1 \cdot 10^1$, $\delta_1 \approx 30\%$; для 2 значащих цифр: $1.4 \cdot 10^1$, $\delta_2 \approx 2.1\%$; для 3 значащих цифр: $1.43 \cdot 10^1$, $\delta_3 \approx 0.030\%$.