Номер 1.165, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.165. В сумме $\frac{2}{3} + \frac{7}{9}$ каждое слагаемое представили в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой и выполнили сложение. Найдите абсолютные погрешности приближенных значений слагаемых и суммы.

Абсолютная погрешность приближенного значения первого слагаемого

Первое слагаемое — это дробь $a = \frac{2}{3}$. В виде десятичной дроби это бесконечная периодическая дробь $0,666...$ или $0,(6)$.

По условию задачи, мы представляем ее в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой. При округлении $0,666...$ до одного знака после запятой, мы смотрим на вторую цифру после запятой. Так как она равна 6 (больше или равна 5), мы округляем в большую сторону. Получаем приближенное значение $a_1 = 0,7$.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и приближенным значением. Обозначим ее $\Delta a$.

$\Delta a = |a - a_1| = |\frac{2}{3} - 0,7| = |\frac{2}{3} - \frac{7}{10}|$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\Delta a = |\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3}| = |\frac{20}{30} - \frac{21}{30}| = |-\frac{1}{30}| = \frac{1}{30}$

Ответ: $\frac{1}{30}$.

Абсолютная погрешность приближенного значения второго слагаемого

Второе слагаемое — это дробь $b = \frac{7}{9}$. В виде десятичной дроби это $0,777...$ или $0,(7)$.

Округляем до одного знака после запятой. Так как вторая цифра после запятой равна 7, округляем в большую сторону. Получаем приближенное значение $b_1 = 0,8$.

Найдем абсолютную погрешность $\Delta b$:

$\Delta b = |b - b_1| = |\frac{7}{9} - 0,8| = |\frac{7}{9} - \frac{8}{10}| = |\frac{7}{9} - \frac{4}{5}|$

Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$\Delta b = |\frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9}| = |\frac{35}{45} - \frac{36}{45}| = |-\frac{1}{45}| = \frac{1}{45}$

Ответ: $\frac{1}{45}$.

Абсолютная погрешность приближенного значения суммы

Сначала найдем точное значение суммы $S$:

$S = \frac{2}{3} + \frac{7}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$S = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{9} = \frac{6}{9} + \frac{7}{9} = \frac{13}{9}$

Теперь найдем приближенное значение суммы $S_1$, сложив приближенные значения слагаемых:

$S_1 = a_1 + b_1 = 0,7 + 0,8 = 1,5$

Найдем абсолютную погрешность суммы $\Delta S$:

$\Delta S = |S - S_1| = |\frac{13}{9} - 1,5| = |\frac{13}{9} - \frac{15}{10}| = |\frac{13}{9} - \frac{3}{2}|$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\Delta S = |\frac{13 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9}| = |\frac{26}{18} - \frac{27}{18}| = |-\frac{1}{18}| = \frac{1}{18}$

Ответ: $\frac{1}{18}$.