Номер 1.168, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.168. Юпитер – самая большая планета солнечной системы. В среднем его диаметр составляет 142800 км. Переведите это значение в метры и запишите результат в стандартном виде так, чтобы относительная погрешность не превышала:

1) 1%;

2) 0,1%.

Сначала переведем диаметр Юпитера из километров в метры. Исходное значение диаметра $D_{км} = 142800 \text{ км}$. Зная, что в одном километре тысяча метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$), получаем диаметр в метрах: $D = 142800 \times 10^3 \text{ м} = 142800000 \text{ м}$.

Теперь запишем это значение в стандартном виде, который имеет форму $a \times 10^n$, где $1 \le |a| < 10$. Для этого переместим запятую на 8 знаков влево: $D_0 = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$. Это значение мы будем считать точным ($D_0$) для расчетов погрешности. Относительная погрешность $\epsilon$ для приближенного значения $D_{прибл}$ вычисляется по формуле: $\epsilon = \frac{|D_{прибл} - D_0|}{D_0}$. Нам нужно найти такое приближенное значение $D_{прибл}$ (путем округления мантиссы $a=1.428$), чтобы его относительная погрешность не превышала заданного значения.

1) 1%

Требуется, чтобы относительная погрешность не превышала 1%, то есть $\epsilon \le 0.01$. Проверим, до скольких значащих цифр нужно округлить мантиссу $1.428$, чтобы выполнить это условие.

Попробуем округлить до двух значащих цифр: $a_{прибл} = 1.4$. Тогда $D_{прибл} = 1.4 \times 10^8 \text{ м}$. Относительная погрешность составит: $\epsilon = \frac{|1.4 \times 10^8 - 1.428 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.028}{1.428} \approx 0.0196$. В процентах это $1.96\%$. Так как $1.96\% > 1\%$, данное приближение является недостаточно точным.

Теперь округлим до трех значащих цифр. По правилам математического округления, $1.428$ округляется до $1.43$. Тогда $a_{прибл} = 1.43$, а $D_{прибл} = 1.43 \times 10^8 \text{ м}$. Относительная погрешность в этом случае: $\epsilon = \frac{|1.43 \times 10^8 - 1.428 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.002}{1.428} \approx 0.0014$. В процентах это $0.14\%$. Так как $0.14\% < 1\%$, данное приближение удовлетворяет условию.

Ответ: $1.43 \times 10^8 \text{ м}$.

2) 0,1%

Требуется, чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%, то есть $\epsilon \le 0.001$. Из предыдущего пункта мы знаем, что при округлении до трех значащих цифр ($D_{прибл} = 1.43 \times 10^8 \text{ м}$) относительная погрешность составляет $\epsilon \approx 0.14\%$. Поскольку $0.14\% > 0.1\%$, данное приближение не является достаточно точным для этого случая.

Следовательно, необходимо использовать большее количество значащих цифр. Возьмем четыре значащие цифры, то есть используем исходную мантиссу $a = 1.428$. $D_{прибл} = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$. В этом случае приближенное значение совпадает с точным ($D_{прибл} = D_0$), и относительная погрешность равна нулю: $\epsilon = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.428 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = 0$. Так как $0\% \le 0.1\%$, это значение полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $1.428 \times 10^8 \text{ м}$.