Вопросы, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются одночленами?

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?

3. Что называют коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?

4. Как определить степень одночлена?

5. Как умножить одночлен на одночлен?

6. Как возвести одночлен в степень?

1. Какие выражения называются одночленами?

Одночленами называют алгебраические выражения, которые представляют собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями. Также одночленами считаются сами числа и переменные.

Например, выражения $7$, $x$, $-5a^2b$, $\frac{2}{3}xy^3z$ являются одночленами.

Выражения, содержащие сложение или вычитание (например, $x+y$), а также деление на переменную (например, $\frac{a}{b}$), не являются одночленами.

Ответ: Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведенных в неотрицательную целую степень.

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?

Одночлен записан в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная должна встречаться в записи только один раз. Как правило, переменные записывают в алфавитном порядке.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно:

1. Перемножить все числовые множители и поставить результат на первое место.

2. Перемножить все степени с одинаковым буквенным основанием (для этого нужно сложить их показатели).

Например, приведем одночлен $4x^2y \cdot (-2) \cdot x \cdot y^3$ к стандартному виду.

1. Умножаем числовые множители: $4 \cdot (-2) = -8$.

2. Умножаем переменные: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$ и $y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$.

В результате получаем одночлен стандартного вида: $-8x^3y^4$.

Ответ: Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных, причем коэффициент стоит на первом месте, а каждая переменная встречается в записи один раз.

3. Что называют коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?

Коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде, называют его числовой множитель.

Примеры:

• В одночлене $15a^2b^3$ коэффициент равен $15$.
• В одночлене $-0,7xy^4$ коэффициент равен $-0,7$.
• В одночлене $x^2y$ коэффициент равен $1$, так как $x^2y = 1 \cdot x^2y$.
• В одночлене $-a^3$ коэффициент равен $-1$, так как $-a^3 = -1 \cdot a^3$.

Ответ: Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартной записи.

4. Как определить степень одночлена?

Степенью ненулевого одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом, отличным от нуля, то его степень считают равной нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

Примеры:

• Степень одночлена $8a^2b^3c$ равна $2+3+1 = 6$ (показатель у $c$ равен 1).
• Степень одночлена $-2x^5$ равна $5$.
• Степень одночлена $12$ (число, отличное от нуля) равна $0$.

Ответ: Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех его переменных.

5. Как умножить одночлен на одночлен?

Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти произведение числовых коэффициентов одночленов.

2. Найти произведение степеней с одинаковыми основаниями (переменными), сложив их показатели.

3. Записать результат в виде одночлена стандартного вида.

Например, умножим одночлен $2x^2y^3$ на $-3xy^5$:

$(2x^2y^3) \cdot (-3xy^5) = (2 \cdot (-3)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^5) = -6 \cdot x^{2+1} \cdot y^{3+5} = -6x^3y^8$.

Ответ: Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных.

6. Как возвести одночлен в степень?

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый его множитель (и коэффициент, и каждую переменную). При возведении степени переменной в новую степень их показатели перемножаются.

Правило: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Например, возведем одночлен $(-2a^3b^4)$ в куб (в 3-ю степень):

$(-2a^3b^4)^3 = (-2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^4)^3 = -8 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{4 \cdot 3} = -8a^9b^{12}$.

Ответ: Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную, умножив ее показатель степени на показатель новой степени.