Номер 1.170, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.170. При $0 < a < 1$ часто используется формула $(1+a)^2 = 1+2a$. Какова абсолютная погрешность приближенного значения, полученного по этой формуле? С ее помощью найдите приближенные значения выражения, а затем, используя калькулятор, вычислите абсолютную и относительную погрешности для следующих случаев:

1) $(1+0,001)^2$;

2) $1,05^2$;

3) $1,002^2$;

4) $0,999^2$.

Приближенная формула $(1+a)^2 \approx 1+2a$ получается из точной формулы квадрата суммы, которая раскрывается как $(1+a)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1+2a+a^2$. Приближение достигается путем отбрасывания слагаемого $a^2$, которое является малым при $0 < a < 1$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$) — это модуль разности между точным значением ($x$) и приближенным значением ($x_{прибл}$).

$x = 1+2a+a^2$

$x_{прибл} = 1+2a$

$\Delta = |x - x_{прибл}| = |(1+2a+a^2) - (1+2a)| = |a^2|$.

Поскольку $a$ — положительное число, то $a^2$ также положительно, и, следовательно, абсолютная погрешность приближения равна $a^2$.

Теперь найдем приближенные значения, абсолютную и относительную погрешности для каждого из заданных случаев.

1) $(1+0,001)^2$

В данном случае $a = 0,001$.

Приближенное значение по формуле $1+2a$:

$(1+0,001)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,001 = 1,002$.

Точное значение, вычисленное на калькуляторе:

$(1,001)^2 = 1,002001$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$):

$\Delta = |1,002001 - 1,002| = 0,000001$. Это соответствует теоретической погрешности $a^2 = (0,001)^2 = 0,000001$.

Относительная погрешность ($\delta$):

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,000001}{1,002001} \approx 0,000000998$, что составляет примерно $0,0001\%$.

Ответ: приближенное значение: $1,002$; абсолютная погрешность: $0,000001$; относительная погрешность: $\approx 0,0001\%$.

2) $1,05^2$

Представим выражение как $(1+0,05)^2$. В данном случае $a = 0,05$.

Приближенное значение по формуле $1+2a$:

$1,05^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$.

Точное значение, вычисленное на калькуляторе:

$1,05^2 = 1,1025$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$):

$\Delta = |1,1025 - 1,1| = 0,0025$. Это соответствует теоретической погрешности $a^2 = (0,05)^2 = 0,0025$.

Относительная погрешность ($\delta$):

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,0025}{1,1025} \approx 0,002267$, что составляет примерно $0,227\%$.

Ответ: приближенное значение: $1,1$; абсолютная погрешность: $0,0025$; относительная погрешность: $\approx 0,227\%$.

3) $1,002^2$

Представим выражение как $(1+0,002)^2$. В данном случае $a = 0,002$.

Приближенное значение по формуле $1+2a$:

$1,002^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004$.

Точное значение, вычисленное на калькуляторе:

$1,002^2 = 1,004004$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$):

$\Delta = |1,004004 - 1,004| = 0,000004$. Это соответствует теоретической погрешности $a^2 = (0,002)^2 = 0,000004$.

Относительная погрешность ($\delta$):

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,000004}{1,004004} \approx 0,00000398$, что составляет примерно $0,0004\%$.

Ответ: приближенное значение: $1,004$; абсолютная погрешность: $0,000004$; относительная погрешность: $\approx 0,0004\%$.

4) $0,999^2$

Представим выражение как $(1-0,001)^2 = (1+(-0,001))^2$. В данном случае $a = -0,001$. Формула остается применимой, так как $|a|$ мал.

Приближенное значение по формуле $1+2a$:

$0,999^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,001) = 1 - 0,002 = 0,998$.

Точное значение, вычисленное на калькуляторе:

$0,999^2 = 0,998001$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$):

$\Delta = |0,998001 - 0,998| = 0,000001$. Это соответствует теоретической погрешности $|a^2| = |(-0,001)^2| = 0,000001$.

Относительная погрешность ($\delta$):

$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,000001}{0,998001} \approx 0,000001002$, что составляет примерно $0,0001\%$.

Ответ: приближенное значение: $0,998$; абсолютная погрешность: $0,000001$; относительная погрешность: $\approx 0,0001\%$.