Тесты, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Упростите выражение $(\frac{3}{7}a^2b)^2 \cdot \frac{7}{3}b^2a$.

A) $a^5b^4$

B) $\frac{3}{7}a^5b^4$

C) $\frac{7}{3}a^5b^4$

D) $\frac{3}{7}a^5b^4$

2. Вычислите: $(-\frac{1}{3})^3 \cdot 0,027$.

A) -1

B) 1

C) $-\frac{1}{9}$

D) $\frac{1}{9}$

3. Используя свойства степени, найдите значение выражения$\frac{18^6}{3^2 \cdot 27^4}$.

A) $\frac{1}{2}$

B) $\frac{1}{3}$

C) 2

D) 3

4. Какой цифрой оканчивается значение выражения $3^3 + 4^3 + 5^3$?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 7

5. Число молекул газа в 1 см³ при 0°С и давлении 760 мм рт.ст. равно 27 000 000 000 000 000 000. Запишите это число в стандартном виде.

A) $2,7 \cdot 10^{19}$

B) $27 \cdot 10^{18}$

C) $0,27 \cdot 10^{20}$

D) $27 \cdot 10^{19}$

6. Пусть $\text{n}$ — натуральное число. Представьте выражение $3^{n+3} : 3^{n+1}$ в виде степени.

A) $3^2$

B) $3^3$

C) $3^{2n}$

D) $3^{n+2}$

7. Вычислите: $(\frac{14}{15})^4 \cdot (\frac{3}{7})^4 \cdot (2,5)^3$.

A) $\frac{1}{5}$

B) $\frac{2}{5}$

C) $\frac{3}{5}$

D) $\frac{2}{7}$

8. Найдите шестую степень числа, если его куб равен $3\frac{3}{8}$.

A) $10\frac{15}{16}$

B) $10\frac{25}{64}$

C) $11\frac{15}{16}$

D) $11\frac{25}{64}$

9. Решите уравнение $x : 2^4 = 2^2$.

A) $x = 54$

B) $x = 128$

C) $x = 32$

D) $x = 64$

1. Для упрощения выражения $(\frac{3}{7}a^2b)^2 \cdot \frac{7}{3}b^2a$ сначала возведем в степень первый множитель: $(\frac{3}{7}a^2b)^2 = (\frac{3}{7})^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = \frac{9}{49}a^{2 \cdot 2}b^2 = \frac{9}{49}a^4b^2$. Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $\frac{9}{49}a^4b^2 \cdot \frac{7}{3}b^2a$. Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{9}{49} \cdot \frac{7}{3}) \cdot (a^4 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b^2)$. Упростим каждую группу: $\frac{9 \cdot 7}{49 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{3}{7}$. $a^4 \cdot a^1 = a^{4+1} = a^5$. $b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$. Собрав все вместе, получаем $\frac{3}{7}a^5b^4$. Ответ: $\frac{3}{7}a^5b^4$

2. Для вычисления $(-3\frac{1}{3})^3 \cdot 0,027$ представим смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей. $-3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$. $0,027 = \frac{27}{1000}$. Теперь выражение выглядит так: $(-\frac{10}{3})^3 \cdot \frac{27}{1000}$. Возведем в куб: $(-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27}$. Выполним умножение: $-\frac{1000}{27} \cdot \frac{27}{1000} = -1$. Ответ: -1

3. Чтобы найти значение выражения $\frac{18^6}{32 \cdot 27^4}$, разложим основания степеней на простые множители. $18 = 2 \cdot 3^2$, $32 = 2^5$, $27 = 3^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{(2 \cdot 3^2)^6}{2^5 \cdot (3^3)^4}$. Используя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $\frac{2^6 \cdot (3^2)^6}{2^5 \cdot 3^{3 \cdot 4}} = \frac{2^6 \cdot 3^{12}}{2^5 \cdot 3^{12}}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $2^{6-5} \cdot 3^{12-12} = 2^1 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$. Ответ: 2

4. Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения $3^3 + 4^3 + 5^3$, достаточно найти последнюю цифру каждого слагаемого и сложить их. Последняя цифра $3^3 = 27$ это 7. Последняя цифра $4^3 = 64$ это 4. Последняя цифра $5^3 = 125$ это 5. Сложим эти цифры: $7 + 4 + 5 = 16$. Последняя цифра суммы 16 - это 6. Следовательно, значение всего выражения оканчивается на 6. Ответ: 6

5. Число 27 000 000 000 000 000 000 нужно записать в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. В данном числе 27 и 18 нулей. Его можно записать как $27 \cdot 10^{18}$. Чтобы привести его к стандартному виду, представим 27 как $2,7 \cdot 10^1$. Тогда $27 \cdot 10^{18} = (2,7 \cdot 10^1) \cdot 10^{18} = 2,7 \cdot 10^{1+18} = 2,7 \cdot 10^{19}$. Также можно посчитать, на сколько позиций нужно сдвинуть запятую влево в исходном числе 27 000 000 000 000 000 000, чтобы получить число от 1 до 10. Сдвиг на 19 позиций дает 2,7. Ответ: $2,7 \cdot 10^{19}$

6. Для представления выражения $3^{n+3} : 3^{n+1}$ в виде степени используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$. В данном случае $a=3$, $m=n+3$ и $k=n+1$. Получаем: $3^{(n+3)-(n+1)} = 3^{n+3-n-1} = 3^2$. Ответ: $3^2$

7. Для вычисления $(\frac{14}{15})^4 \cdot (\frac{3}{7})^4 \cdot (2,5)^3$ сгруппируем множители с одинаковыми показателями: $(\frac{14}{15} \cdot \frac{3}{7})^4 \cdot (2,5)^3$. Упростим выражение в скобках: $\frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{5 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2}{5}$. Выражение принимает вид $(\frac{2}{5})^4 \cdot (2,5)^3$. Представим $2,5$ в виде дроби $\frac{5}{2}$. Тогда выражение станет $(\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{5}{2})^3$. Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$. Подставим это: $(\frac{2}{5})^4 \cdot ((\frac{2}{5})^{-1})^3 = (\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{2}{5})^{-3}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $(\frac{2}{5})^{4+(-3)} = (\frac{2}{5})^1 = \frac{2}{5}$. Ответ: $\frac{2}{5}$

8. Пусть искомое число - это $x$. По условию, его куб равен $x^3 = 3\frac{3}{8}$. Нам нужно найти шестую степень этого числа, то есть $x^6$. Мы можем представить $x^6$ как $(x^3)^2$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$. Теперь возведем это значение в квадрат: $x^6 = (\frac{27}{8})^2 = \frac{27^2}{8^2} = \frac{729}{64}$. Чтобы сравнить с вариантами ответов, преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число. Разделим 729 на 64 с остатком: $729 = 11 \cdot 64 + 25$. Таким образом, $\frac{729}{64} = 11\frac{25}{64}$. Ответ: $11\frac{25}{64}$

9. В уравнении $x : 2^4 = 2^2$ неизвестное $x$ является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. $x = 2^2 \cdot 2^4$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $x = 2^{2+4} = 2^6$. Вычислим значение: $2^6 = 64$. Ответ: $x=64$