Номер 1.166, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.166. Докажите, что среднее арифметическое чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ является приближенным значением любого из этих чисел с точностью до их полуразности по модулю.

Пусть даны два числа, $a$ и $b$.

Среднее арифметическое этих чисел (обозначим его $m$) вычисляется по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$.

Полуразность их по модулю (обозначим ее $h$) вычисляется по формуле: $h = \frac{|a-b|}{2}$.

Чтобы доказать, что $m$ является приближенным значением любого из этих чисел ($a$ или $b$) с точностью до $h$, необходимо показать, что абсолютная погрешность приближения не превышает $h$. То есть, мы должны доказать выполнение двух неравенств:

1) $|a - m| \le h$

2) $|b - m| \le h$

Доказательство для числа a

Найдем модуль разности между числом $a$ и их средним арифметическим $m$:

$|a - m| = \left|a - \frac{a+b}{2}\right|$

Приведем выражение в модуле к общему знаменателю:

$\left|\frac{2a}{2} - \frac{a+b}{2}\right| = \left|\frac{2a - (a+b)}{2}\right| = \left|\frac{2a - a - b}{2}\right| = \left|\frac{a-b}{2}\right|$

Используя свойство модуля $|x/y| = |x|/|y|$, получаем:

$\frac{|a-b|}{|2|} = \frac{|a-b|}{2}$

Таким образом, мы получили, что $|a - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это в точности равно полуразности по модулю $h$. Так как $|a - m| = h$, то и условие $|a - m| \le h$ выполняется.

Доказательство для числа b

Аналогично найдем модуль разности между числом $b$ и их средним арифметическим $m$:

$|b - m| = \left|b - \frac{a+b}{2}\right|$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\left|\frac{2b}{2} - \frac{a+b}{2}\right| = \left|\frac{2b - (a+b)}{2}\right| = \left|\frac{2b - a - b}{2}\right| = \left|\frac{b-a}{2}\right|$

Используя свойства модуля $|x/y| = |x|/|y|$ и $|-x| = |x|$, получаем:

$\frac{|b-a|}{2} = \frac{|-(a-b)|}{2} = \frac{|a-b|}{2}$

Таким образом, мы получили, что $|b - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это также в точности равно полуразности по модулю $h$. Условие $|b - m| \le h$ выполняется.

Мы доказали, что абсолютная погрешность при замене как числа $a$, так и числа $b$ их средним арифметическим значением равна их полуразности по модулю. Что и требовалось доказать.

Ответ: В ходе доказательства было установлено, что $|a - \frac{a+b}{2}| = \frac{|a-b|}{2}$ и $|b - \frac{a+b}{2}| = \frac{|a-b|}{2}$. Поскольку в обоих случаях абсолютная погрешность равна полуразности по модулю, она не превышает это значение, что и доказывает утверждение задачи.