Номер 1.18, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Найдите значение выражения:

1) $\frac{2a^4 - 3b^3}{1 - a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$;

2) $\frac{2m^2 - 4m - 1}{m^2 + m + 1}$ при $m = -\frac{3}{4}$;

3) $\frac{3x^2 + 5y}{2x - 1} + \frac{x^2 - 2y^3}{3 - 4y}$ при $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{2}$;

4) $\frac{1 - 2ab}{3a^2b} - \frac{2 + 3ab^2}{4ab^3}$ при $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{2}{3}$.

1) Подставим значения $a = -\frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{3}$ в выражение $\frac{2a^4-3b^3}{1-a^2}$.

Сначала вычислим числитель: $2a^4 - 3b^3$.

Поскольку $a^4 = (-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ и $b^3 = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$, то числитель равен:

$2 \cdot \frac{1}{16} - 3 \cdot (-\frac{1}{27}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{27} = \frac{1}{8} + \frac{1}{9}$.

Приводим к общему знаменателю 72: $\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{9}{72} + \frac{8}{72} = \frac{17}{72}$.

Теперь вычислим знаменатель: $1 - a^2 = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{17}{72}}{\frac{3}{4}} = \frac{17}{72} \cdot \frac{4}{3} = \frac{17 \cdot 4}{72 \cdot 3} = \frac{17}{18 \cdot 3} = \frac{17}{54}$.

Ответ: $\frac{17}{54}$.

2) Подставим значение $m = -\frac{3}{4}$ в выражение $\frac{2m^2-4m-1}{m^2+m+1}$.

Сначала вычислим $m^2 = (-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

Теперь вычислим числитель: $2m^2 - 4m - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 4(-\frac{3}{4}) - 1 = \frac{18}{16} + \frac{12}{4} - 1 = \frac{9}{8} + 3 - 1 = \frac{9}{8} + 2 = \frac{9}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25}{8}$.

Далее вычислим знаменатель: $m^2 + m + 1 = \frac{9}{16} + (-\frac{3}{4}) + 1 = \frac{9}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{16}{16} = \frac{9 - 12 + 16}{16} = \frac{13}{16}$.

Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{25}{8}}{\frac{13}{16}} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{13} = \frac{25 \cdot 16}{8 \cdot 13} = \frac{25 \cdot 2}{13} = \frac{50}{13}$.

Ответ: $\frac{50}{13}$.

3) Подставим значения $x = -\frac{1}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ в выражение $\frac{3x^2+5y}{2x-1} + \frac{x^2-2y^3}{3-4y}$.

Вычислим значение первого слагаемого $\frac{3x^2+5y}{2x-1}$.

Числитель первого слагаемого: $3x^2 + 5y = 3(-\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{9}) + \frac{5}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6}$.

Знаменатель первого слагаемого: $2x - 1 = 2(-\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{5}{3}$.

Значение первого слагаемого: $\frac{\frac{17}{6}}{-\frac{5}{3}} = \frac{17}{6} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 5} = -\frac{17}{2 \cdot 5} = -\frac{17}{10}$.

Вычислим значение второго слагаемого $\frac{x^2-2y^3}{3-4y}$.

Числитель второго слагаемого: $x^2 - 2y^3 = (-\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{9} - 2(\frac{1}{8}) = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4}{36} - \frac{9}{36} = -\frac{5}{36}$.

Знаменатель второго слагаемого: $3 - 4y = 3 - 4(\frac{1}{2}) = 3 - 2 = 1$.

Значение второго слагаемого: $\frac{-\frac{5}{36}}{1} = -\frac{5}{36}$.

Теперь сложим значения двух слагаемых: $-\frac{17}{10} + (-\frac{5}{36}) = -\frac{17}{10} - \frac{5}{36}$.

Приводим к общему знаменателю 180: $-\frac{17 \cdot 18}{10 \cdot 18} - \frac{5 \cdot 5}{36 \cdot 5} = -\frac{306}{180} - \frac{25}{180} = \frac{-306 - 25}{180} = -\frac{331}{180}$.

Ответ: $-\frac{331}{180}$.

4) Подставим значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{2}{3}$ в выражение $\frac{1-2ab}{3a^2b} - \frac{2+3ab^2}{4ab^3}$.

Предварительно вычислим значения некоторых комбинаций переменных:

$ab = (\frac{1}{2})(-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$

$a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$b^2 = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

$b^3 = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$

Вычислим значение первой дроби $\frac{1-2ab}{3a^2b}$.

Числитель: $1 - 2ab = 1 - 2(-\frac{1}{3}) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

Знаменатель: $3a^2b = 3(\frac{1}{4})(-\frac{2}{3}) = -\frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Значение первой дроби: $\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{3} \cdot (-2) = -\frac{10}{3}$.

Вычислим значение второй дроби $\frac{2+3ab^2}{4ab^3}$.

Числитель: $2 + 3ab^2 = 2 + 3(\frac{1}{2})(\frac{4}{9}) = 2 + \frac{12}{18} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Знаменатель: $4ab^3 = 4(\frac{1}{2})(-\frac{8}{27}) = 2(-\frac{8}{27}) = -\frac{16}{27}$.

Значение второй дроби: $\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{16}{27}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{27}{16}) = -\frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 16} = -\frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 2} = -\frac{9}{2}$.

Теперь найдем разность значений двух дробей: $(-\frac{10}{3}) - (-\frac{9}{2}) = -\frac{10}{3} + \frac{9}{2}$.

Приводим к общему знаменателю 6: $-\frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{20}{6} + \frac{27}{6} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.