Номер 1.23, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.23*. При каких значениях $\text{a}$ и $\text{b}$ система уравнений

имеет: 1) одно решение; 2) бесконечное множество решений; 3) не имеет решений?

Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b \end{cases} $. Для анализа количества решений удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную x из первого уравнения: $x = 3 + 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(3 + 2y) + ay = b$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выделить переменную y:

$6 + 4y + ay = b$

$4y + ay = b - 6$

$y(4 + a) = b - 6$.

Дальнейший анализ основан на исследовании этого линейного уравнения относительно y. Количество решений исходной системы совпадает с количеством решений этого уравнения.

1) одно решение

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение $y(4 + a) = b - 6$ имеет единственное решение относительно y. Это выполняется, если коэффициент при y не равен нулю:

$4 + a \neq 0$, что эквивалентно $a \neq -4$.

При этом условии мы можем найти единственное значение $y = \frac{b - 6}{a + 4}$. Подставив его в выражение для x, мы также получим единственное значение x. Значение параметра b может быть любым действительным числом.

Ответ: $a \neq -4$, $b$ - любое число.

2) бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений, если уравнение $y(4 + a) = b - 6$ имеет бесконечное множество решений. Это возможно только в том случае, если уравнение представляет собой тождество $0 \cdot y = 0$. Для этого необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: коэффициент при y и правая часть уравнения должны быть равны нулю.

$ \begin{cases} 4 + a = 0 \\ b - 6 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем: $a = -4$ и $b = 6$.

Ответ: $a = -4$, $b = 6$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если уравнение $y(4 + a) = b - 6$ не имеет решений. Это происходит, когда мы получаем противоречивое равенство вида $0 \cdot y = k$, где $k \neq 0$. Для этого необходимо, чтобы коэффициент при y был равен нулю, а правая часть — нет.

$ \begin{cases} 4 + a = 0 \\ b - 6 \neq 0 \end{cases} $

Из этих условий следует, что $a = -4$ и $b \neq 6$.

Ответ: $a = -4$, $b \neq 6$.