Номер 1.19, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Докажите, что выражения $x^4+1$ и $3+(4-x)^2$ принимают только по- ложительные значения.

Подсказка. Докажите, что выражение $3a^8 + a^2$ при любом значении $\text{a}$ принимает положительное значение. Учтите, что любое число с четным показателем положительно. Поэтому сумма слагаемых при любом $\text{a}$ при- нимает положительное значение.

Доказательство для выражения $x^4+1$

Рассмотрим выражение $x^4+1$. Оно состоит из двух слагаемых: $x^4$ и $1$.

Слагаемое $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Следовательно, для любого действительного значения $x$ справедливо неравенство:

$x^4 \ge 0$

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $x^4$, равно 0 (это значение достигается при $x=0$). Во всех остальных случаях ($x \ne 0$) значение $x^4$ будет строго положительным.

Теперь рассмотрим все выражение $x^4+1$. Так как мы знаем, что $x^4 \ge 0$, мы можем прибавить к обеим частям этого неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится:

$x^4 + 1 \ge 0 + 1$

$x^4 + 1 \ge 1$

Это неравенство показывает, что значение выражения $x^4+1$ всегда больше или равно 1. Поскольку 1 — положительное число, то и само выражение $x^4+1$ всегда будет принимать только положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $x^4+1$ принимает только положительные значения, так как для любого $x$ выполняется неравенство $x^4+1 \ge 1$, а $1 > 0$.

Доказательство для выражения $3+(4-x)^2$

Рассмотрим выражение $3+(4-x)^2$. Оно состоит из двух слагаемых: $3$ и $(4-x)^2$.

Слагаемое $(4-x)^2$ представляет собой некоторое выражение, возведенное в четную степень (2). Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Для любого значения $x$ разность $(4-x)$ является действительным числом, поэтому для ее квадрата справедливо неравенство:

$(4-x)^2 \ge 0$

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(4-x)^2$, равно 0 (это значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $4-x=0$, что соответствует $x=4$). Во всех остальных случаях ($x \ne 4$) значение $(4-x)^2$ будет строго положительным.

Теперь рассмотрим все выражение $3+(4-x)^2$. Так как мы знаем, что $(4-x)^2 \ge 0$, мы можем прибавить к обеим частям этого неравенства число 3:

$3 + (4-x)^2 \ge 3 + 0$

$3 + (4-x)^2 \ge 3$

Это неравенство показывает, что значение выражения $3+(4-x)^2$ всегда больше или равно 3. Поскольку 3 — положительное число, то и само выражение $3+(4-x)^2$ всегда будет принимать только положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $3+(4-x)^2$ принимает только положительные значения, так как для любого $x$ выполняется неравенство $3+(4-x)^2 \ge 3$, а $3 > 0$.