Вопросы, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Запишите формулу для умножения степеней с одинаковыми основаниями и сформулируйте соответствующее правило.

2. Запишите формулу для деления степеней с одинаковыми основаниями и сформулируйте соответствующее правило.

3. Докажите формулу (1).

4. Докажите формулу (2).

5. Чему равно число, не равное нулю, с нулевым показателем?

6. Имеет ли смысл выражение $0^0$?

Какой цифрой: 1) 3; 2) 4; 3) 7; 4) 8 оканчивается число, полученное при возведении данного числа в степень, которая является натуральным числом? Покажите алгоритм нахождения последней цифры.

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ (1)

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (2)

1. Формула для умножения степеней с одинаковыми основаниями имеет вид: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

Соответствующее правило формулируется так: чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Ответ: Формула: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

2. Формула для деления степеней с одинаковыми основаниями имеет вид: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, где $a \neq 0$.

Соответствующее правило формулируется так: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями (и основанием, не равным нулю), нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Ответ: Формула: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (при $a \neq 0$). Правило: при делении степеней с одинаковыми основаниями (отличными от нуля) основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

3. Докажем формулу (1) $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ для натуральных показателей $n$ и $m$.

По определению степени, $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, а $a^m$ — это произведение $m$ таких же множителей.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

Тогда их произведение $a^n \cdot a^m$ будет состоять из $n+m$ множителей, равных $a$:

$a^n \cdot a^m = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}) = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n+m \text{ раз}}$

Согласно определению степени, такое произведение равно $a^{n+m}$. Формула доказана.

Ответ: Доказательство основано на определении степени. Произведение $a^n \cdot a^m$ представляет собой произведение $(n+m)$ множителей, равных $a$, что по определению равно $a^{n+m}$.

4. Докажем формулу (2) $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ для $a \neq 0$ и натуральных $n > m$.

По определению степени запишем частное в виде дроби:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{n \text{ раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}}$

Поскольку $a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $m$ множителей $a$. В числителе останется $n-m$ множителей, а в знаменателе - 1.

$\frac{\overbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}^{m \text{ раз}} \cdot \overbrace{a \cdot \dots \cdot a}^{n-m \text{ раз}}}{\underbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}_{m \text{ раз}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n-m \text{ раз}}$

По определению степени, полученное произведение равно $a^{n-m}$. Формула доказана.

Ответ: Доказательство основано на определении степени и основном свойстве дроби. После сокращения $m$ общих множителей в числителе и знаменателе дроби $\frac{a^n}{a^m}$, в числителе остаётся произведение из $n-m$ множителей, что равно $a^{n-m}$.

5. Для любого числа $a \neq 0$ его степень с нулевым показателем равна единице. Это можно показать, используя свойство деления степеней. Возьмем любое натуральное число $n$.

С одной стороны, частное любого ненулевого числа, деленного на само себя, равно 1: $\frac{a^n}{a^n} = 1$.

С другой стороны, по свойству деления степеней: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$.

Следовательно, $a^0 = 1$.

Ответ: Число, не равное нулю, с нулевым показателем равно 1.

6. Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в математике считается неопределенностью. Это связано с тем, что разные подходы к его определению приводят к разным результатам.

1. Исходя из правила $a^0 = 1$ для $a \neq 0$, можно было бы предположить, что $0^0 = 1$.

2. Исходя из правила $0^n = 0$ для $n > 0$, можно было бы предположить, что $0^0 = 0$.

Из-за этой неоднозначности в математическом анализе $0^0$ является одной из "неопределенных форм". Однако в некоторых разделах математики, таких как комбинаторика и теория множеств, для удобства принимают соглашение, что $0^0 = 1$.

Ответ: Выражение $0^0$ не имеет общепринятого значения и считается неопределенностью, так как разные математические контексты предполагают разные значения (1 или 0). В некоторых областях его по соглашению считают равным 1.

Последняя цифра числа, полученного при возведении в натуральную степень, зависит только от последней цифры исходного числа. Для нахождения этой цифры используется алгоритм, основанный на цикличности повторения последних цифр при возведении в степень.

Алгоритм нахождения последней цифры:

1. Определить последнюю цифру основания.

2. Найти последовательность (цикл) последних цифр, получаемых при возведении этой цифры в степени 1, 2, 3, ... и определить длину этого цикла $L$.

3. Найти остаток $r$ от деления показателя степени на $L$.

4. Если остаток $r=0$, то последняя цифра будет равна последнему элементу цикла. Если $r \neq 0$, то последняя цифра будет равна $r$-му элементу цикла.

1) 3;

Рассмотрим степени числа 3 и их последние цифры:

$3^1$ оканчивается на 3

$3^2$ оканчивается на 9

$3^3$ оканчивается на 7 ($9 \times 3 = 27$)

$3^4$ оканчивается на 1 ($7 \times 3 = 21$)

$3^5$ оканчивается на 3 ($1 \times 3 = 3$)

Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с длиной цикла 4. В зависимости от остатка от деления показателя степени на 4, последняя цифра будет одной из этих четырех.

Ответ: Число, полученное при возведении 3 в натуральную степень, может оканчиваться на цифры 3, 9, 7 или 1.

2) 4;

Рассмотрим степени числа 4:

$4^1$ оканчивается на 4

$4^2$ оканчивается на 6 ($4 \times 4 = 16$)

$4^3$ оканчивается на 4 ($6 \times 4 = 24$)

Последовательность последних цифр (4, 6) циклична с длиной цикла 2. Если показатель степени нечетный, последняя цифра - 4. Если четный - 6.

Ответ: Число, полученное при возведении 4 в натуральную степень, может оканчиваться на цифры 4 или 6.

3) 7;

Рассмотрим степени числа 7:

$7^1$ оканчивается на 7

$7^2$ оканчивается на 9 ($7 \times 7 = 49$)

$7^3$ оканчивается на 3 ($9 \times 7 = 63$)

$7^4$ оканчивается на 1 ($3 \times 7 = 21$)

$7^5$ оканчивается на 7 ($1 \times 7 = 7$)

Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с длиной цикла 4. В зависимости от остатка от деления показателя степени на 4, последняя цифра будет одной из этих четырех.

Ответ: Число, полученное при возведении 7 в натуральную степень, может оканчиваться на цифры 7, 9, 3 или 1.

4) 8

Рассмотрим степени числа 8:

$8^1$ оканчивается на 8

$8^2$ оканчивается на 4 ($8 \times 8 = 64$)

$8^3$ оканчивается на 2 ($4 \times 8 = 32$)

$8^4$ оканчивается на 6 ($2 \times 8 = 16$)

$8^5$ оканчивается на 8 ($6 \times 8 = 48$)

Последовательность последних цифр (8, 4, 2, 6) циклична с длиной цикла 4. В зависимости от остатка от деления показателя степени на 4, последняя цифра будет одной из этих четырех.

Ответ: Число, полученное при возведении 8 в натуральную степень, может оканчиваться на цифры 8, 4, 2 или 6.