Номер 1.25, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25. При каких условиях значение выражения $ \frac{a-1}{2} $ будет:

1) положительным числом;

2) отрицательным числом;

3) целым числом;

4) равным нулю?

1) положительным числом;

Значение выражения $\frac{a-1}{2}$ будет положительным числом, если оно больше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a-1}{2} > 0$

Так как знаменатель дроби (число 2) положителен, то знак дроби зависит от знака числителя. Чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть положительным:

$a - 1 > 0$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$a > 1$

Ответ: при $a > 1$.

2) отрицательным числом;

Значение выражения $\frac{a-1}{2}$ будет отрицательным числом, если оно меньше нуля:

$\frac{a-1}{2} < 0$

Так как знаменатель дроби положителен, то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:

$a - 1 < 0$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$a < 1$

Ответ: при $a < 1$.

3) целым числом;

Значение выражения $\frac{a-1}{2}$ будет целым числом, если его числитель $(a-1)$ делится на знаменатель 2 нацело. Числа, которые делятся на 2 нацело, называются четными.

Следовательно, выражение $a-1$ должно быть четным числом.

Если разность двух чисел $(a-1)$ является четным числом, а вычитаемое (1) — нечетное, то уменьшаемое ($a$) также должно быть нечетным числом (так как разность нечетного и нечетного чисел всегда четна).

Таким образом, $a$ должно быть любым нечетным числом. Например, $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$.

Это можно записать формулой: $a = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: если $a$ — любое нечетное число.

4) равным нулю?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Знаменатель нашего выражения равен 2, что не равно нулю. Значит, для равенства выражения нулю необходимо и достаточно, чтобы его числитель был равен нулю:

$a - 1 = 0$

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$a = 1$

Ответ: при $a = 1$.