Номер 1.20, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Докажите, что уравнение $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$ не может иметь положительных корней.

1.20. Для доказательства того, что уравнение $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$ не может иметь положительных корней, рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f(x) = x^4+5x^3+2x^2+x+4$.

Нам нужно показать, что не существует такого значения $x > 0$, при котором $f(x) = 0$.

Предположим, что у уравнения есть положительный корень $x_0$. Это означает, что $x_0 > 0$ и $f(x_0) = 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в выражении для $f(x_0)$, где $x_0 > 0$:

1. $x_0^4$: так как $x_0$ — положительное число, его четвертая степень также будет строго положительной: $x_0^4 > 0$.

2. $5x_0^3$: так как $x_0 > 0$, то $x_0^3 > 0$. Умножение на положительное число 5 дает строго положительный результат: $5x_0^3 > 0$.

3. $2x_0^2$: аналогично, $x_0^2 > 0$, и умножение на 2 дает $2x_0^2 > 0$.

4. $x_0$: по нашему предположению, $x_0 > 0$.

5. $4$: это положительная константа, $4 > 0$.

Теперь сложим все эти слагаемые, чтобы найти значение $f(x_0)$: $f(x_0) = x_0^4 + 5x_0^3 + 2x_0^2 + x_0 + 4$.

Так как каждое слагаемое в этой сумме является строго положительным числом, их сумма также будет строго положительным числом: $f(x_0) > 0$.

Мы получили, что для любого положительного числа $x_0$ значение функции $f(x_0)$ всегда больше нуля. Это противоречит нашему предположению о том, что $x_0$ является корнем, то есть $f(x_0) = 0$.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и уравнение не может иметь положительных корней.

Ответ: Что и требовалось доказать.