Номер 1.21, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Верно ли равенство при любом а?

1) $|a|^2 = a^2$;

2) $|a|^3 = a^3$.

1) Рассмотрим два случая в зависимости от знака переменной $a$.

Если $a \ge 0$, то по определению модуля $|a| = a$. Тогда левая часть равенства принимает вид: $|a|^2 = a^2$. Правая часть также равна $a^2$. Равенство $a^2 = a^2$ выполняется.

Если $a < 0$, то по определению модуля $|a| = -a$. Тогда левая часть равенства принимает вид: $|a|^2 = (-a)^2 = a^2$. Правая часть равна $a^2$. Равенство $a^2 = a^2$ снова выполняется.

Поскольку равенство верно для всех неотрицательных и всех отрицательных $a$, оно верно при любом $a$.

Ответ: да, верно.

2) Чтобы проверить, верно ли равенство при любом $a$, достаточно найти хотя бы одно значение $a$, при котором оно не выполняется (контрпример).

Рассмотрим случай, когда $a$ - отрицательное число, например, $a = -2$.

Подставим это значение в левую часть равенства: $|a|^3 = |-2|^3 = 2^3 = 8$.

Теперь подставим это значение в правую часть равенства: $a^3 = (-2)^3 = -8$.

Сравнивая результаты, получаем $8 \neq -8$.

Поскольку мы нашли значение $a$, при котором равенство не выполняется, утверждение, что оно верно при любом $a$, является ложным. Равенство $|a|^3 = a^3$ выполняется только при $a \ge 0$.

Ответ: нет, неверно.