Номер 1.31, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Найдите значение выражения:

1) $5^8:5^6$;

2) $0,2^7:0,2^5$;

3) $1,99^{13}:1,99^{12}$;

4) $\left(1 \frac{2}{3}\right)^4 : \left(1 \frac{2}{3}\right)^2$;

5) $\left(-\frac{3}{7}\right)^5 : \left(-\frac{3}{7}\right)^4$;

6) $\left(2 \frac{3}{5}\right)^6 : \left(2 \frac{3}{5}\right)^4$.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$5^8 : 5^6 = 5^{8-6} = 5^2 = 25$.

Ответ: $25$.

2) Используем то же свойство деления степеней, что и в предыдущем примере: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Основание в данном случае равно $0,2$.

$0,2^7 : 0,2^5 = 0,2^{7-5} = 0,2^2 = 0,04$.

Ответ: $0,04$.

3) В этом выражении основание степени равно $1,99$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$1,99^{13} : 1,99^{12} = 1,99^{13-12} = 1,99^1 = 1,99$.

Ответ: $1,99$.

4) Основание степени в этом выражении является смешанным числом. Для удобства вычислений сначала представим его в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(\frac{5}{3})^4 : (\frac{5}{3})^2$.

Применим свойство деления степеней: $(\frac{5}{3})^{4-2} = (\frac{5}{3})^2$.

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: $2\frac{7}{9}$.

5) В данном случае основание степени является отрицательной дробью. Правило деления степеней с одинаковым основанием остается в силе.

$(-\frac{3}{7})^5 : (-\frac{3}{7})^4 = (-\frac{3}{7})^{5-4} = (-\frac{3}{7})^1 = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $-\frac{3}{7}$.

6) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{3}{5}$ в неправильную дробь:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{13}{5})^6 : (\frac{13}{5})^4$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$(\frac{13}{5})^{6-4} = (\frac{13}{5})^2 = \frac{13^2}{5^2} = \frac{169}{25}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $169 \div 25 = 6$ (остаток $19$).

$\frac{169}{25} = 6\frac{19}{25}$.

Ответ: $6\frac{19}{25}$.