Номер 1.35, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. Какой цифрой оканчиваются числа:

1) $2^{17}$;

2) $3^{15}$;

3) $7^{12}$;

4) $9^9$.

1)Чтобы определить, какой цифрой оканчивается число $2^{17}$, необходимо найти закономерность в последних цифрах степеней числа 2.

Рассмотрим первые несколько степеней:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)

$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)

$2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Последние цифры степеней числа 2 повторяются с периодом (циклом) 4: (2, 4, 8, 6).

Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{17}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 17 на длину цикла 4.

$17 = 4 \cdot 4 + 1$.

Остаток от деления равен 1. Это означает, что последняя цифра числа $2^{17}$ совпадает с первой цифрой в цикле, то есть с последней цифрой числа $2^1$.

Ответ: 2

2)Для определения последней цифры числа $3^{15}$ найдем цикл последних цифр степеней числа 3.

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)

$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)

$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1).

Найдем остаток от деления показателя степени 15 на длину цикла 4.

$15 = 4 \cdot 3 + 3$.

Остаток равен 3. Это значит, что последняя цифра числа $3^{15}$ совпадает с третьей цифрой в цикле, то есть с последней цифрой числа $3^3$.

Ответ: 7

3)Чтобы найти последнюю цифру числа $7^{12}$, рассмотрим цикл последних цифр степеней числа 7.

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)

$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)

$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)

$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1).

Найдем остаток от деления показателя степени 12 на длину цикла 4.

$12 \div 4 = 3$ с остатком 0.

Если остаток равен 0, это означает, что последняя цифра совпадает с последней цифрой в цикле, то есть с четвертой. В данном случае это последняя цифра числа $7^4$.

Ответ: 1

4)Для определения последней цифры числа $9^9$ найдем цикл последних цифр степеней числа 9.

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)

$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)

Последние цифры степеней числа 9 повторяются с циклом длиной 2: (9, 1).

Можно заметить, что нечетные степени девятки оканчиваются на 9, а четные — на 1.

Поскольку показатель степени 9 — нечетное число, то число $9^9$ будет оканчиваться на 9.

Другой способ — найти остаток от деления показателя 9 на длину цикла 2: $9 = 2 \cdot 4 + 1$. Остаток 1 соответствует первой цифре в цикле.

Ответ: 9