Номер 1.41, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Покажите, что значение дроби не зависит от натурального числа n:

1) $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$;

2) $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$.

1) Чтобы показать, что значение дроби не зависит от $n$, необходимо упростить данное выражение. Будем использовать свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$). Упростим числитель:

$6^{n+1} \cdot 6^{n+2} = 6^{(n+1) + (n+2)} = 6^{2n+3}$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{6^{2n+3}}{6^{2n}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$). Применим это правило:

$\frac{6^{2n+3}}{6^{2n}} = 6^{(2n+3) - 2n} = 6^3$

Осталось вычислить результат:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Так как в результате получилось число 216, которое не содержит переменную $n$, мы показали, что значение дроби не зависит от натурального числа $n$.

Ответ: 216.

2) Упростим второе выражение, используя те же свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$

Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:

$5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+4) + (2n-1)} = 5^{4n+3}$

Теперь подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{5^{4n+3}}{5^{4n+2}}$

Теперь применим правило деления степеней, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$\frac{5^{4n+3}}{5^{4n+2}} = 5^{(4n+3) - (4n+2)} = 5^{4n+3-4n-2} = 5^1$

Вычислим полученное значение:

$5^1 = 5$

Результат равен 5 и не зависит от $n$, что и требовалось показать.

Ответ: 5.