Номер 1.43, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Найдите значение дроби:

1) $\frac{5^6}{5^4}$;

2) $\frac{9^{12}}{9^{11}}$;

3) $\frac{0,8^5}{0,8^3}$;

4) $\frac{\left(-1\frac{1}{2}\right)^4}{-1\frac{1}{2}};$

5) $\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^7}{\left(\frac{2}{3}\right)^4};$

6) $(1,3)^9 : \left(\frac{13}{10}\right)^7.$

1) Для нахождения значения дроби $\frac{5^6}{5^4}$ используется свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Применяя это правило, мы вычитаем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя: $\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2$. Теперь вычисляем значение $5^2$: $5 \times 5 = 25$. Ответ: 25.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство частного степеней для выражения $\frac{9^{12}}{9^{11}}$: $\frac{9^{12}}{9^{11}} = 9^{12-11} = 9^1$. Любое число в первой степени равно самому себе. Ответ: 9.

3) Это свойство также применимо и к десятичным дробям. Для дроби $\frac{0,8^5}{0,8^3}$ имеем: $\frac{0,8^5}{0,8^3} = 0,8^{5-3} = 0,8^2$. Для вычисления $0,8^2$ умножаем $0,8$ на $0,8$: $0,8 \times 0,8 = 0,64$. Ответ: 0,64.

4) В выражении $\frac{(-1\frac{1}{2})^4}{-1\frac{1}{2}}$ знаменатель можно представить как $(-1\frac{1}{2})^1$. Таким образом, мы снова можем использовать правило деления степеней: $\frac{(-1\frac{1}{2})^4}{(-1\frac{1}{2})^1} = (-1\frac{1}{2})^{4-1} = (-1\frac{1}{2})^3$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{2 \times 1 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$. Теперь возводим полученную дробь в куб: $(-\frac{3}{2})^3 = \frac{(-3)^3}{2^3} = \frac{-27}{8}$. Преобразуем результат обратно в смешанное число: $-\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8}$. Ответ: $-3\frac{3}{8}$.

5) Для выражения $\frac{(\frac{2}{3})^7}{(\frac{2}{3})^4}$ с основанием в виде обыкновенной дроби применяется то же правило: $\frac{(\frac{2}{3})^7}{(\frac{2}{3})^4} = (\frac{2}{3})^{7-4} = (\frac{2}{3})^3$. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$. Ответ: $\frac{8}{27}$.

6) Выражение $(1,3)^9 : (\frac{13}{10})^7$ представляет собой деление степеней (знак ":" означает деление). Чтобы применить свойство частного степеней, приведем основания к одинаковому виду. Представим десятичную дробь $1,3$ в виде обыкновенной: $1,3 = \frac{13}{10}$. Теперь выражение выглядит так: $(\frac{13}{10})^9 : (\frac{13}{10})^7 = \frac{(\frac{13}{10})^9}{(\frac{13}{10})^7}$. Применяем свойство: $(\frac{13}{10})^{9-7} = (\frac{13}{10})^2$. Возводим в квадрат числитель и знаменатель: $\frac{13^2}{10^2} = \frac{169}{100}$. Результат можно представить в виде десятичной дроби: $1,69$. Ответ: 1,69.