Номер 1.50, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Какой цифрой оканчиваются выражения:

1) $2^{101} \cdot 3^{102}$;

2) $101^{2025} \cdot 17^{30}$;

3) $13^9 \cdot 5^{75}$?

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается выражение, нужно определить последнюю цифру результата. Последняя цифра произведения чисел зависит только от последних цифр этих чисел. Аналогично, последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания.

1) Найдем последнюю цифру выражения $2^{101} \cdot 3^{102}$.

Сначала определим последнюю цифру числа $2^{101}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 2: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$ (оканчивается на 6), $2^5 = 32$ (оканчивается на 2). Последовательность последних цифр (2, 4, 8, 6) является циклической с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру $2^{101}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 101 на 4: $101 \div 4 = 25$ с остатком 1. Остаток 1 означает, что последняя цифра $2^{101}$ будет такой же, как у первого члена последовательности, то есть как у $2^1$. Таким образом, $2^{101}$ оканчивается на 2.

Теперь определим последнюю цифру числа $3^{102}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$ (оканчивается на 7), $3^4 = 81$ (оканчивается на 1), $3^5 = 243$ (оканчивается на 3). Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 102 на 4: $102 \div 4 = 25$ с остатком 2. Остаток 2 означает, что последняя цифра $3^{102}$ будет такой же, как у второго члена последовательности, то есть как у $3^2$. Таким образом, $3^{102}$ оканчивается на 9.

Последняя цифра произведения $2^{101} \cdot 3^{102}$ равна последней цифре произведения их последних цифр: $2 \cdot 9 = 18$. Следовательно, выражение оканчивается на 8.

Ответ: 8

2) Найдем последнюю цифру выражения $101^{2025} \cdot 17^{30}$.

Последняя цифра числа $101^{2025}$ определяется последней цифрой его основания – 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Значит, $101^{2025}$ оканчивается на 1.

Последняя цифра числа $17^{30}$ определяется последней цифрой его основания – 7. Найдем цикл последних цифр степеней числа 7: $7^1 = 7$, $7^2 = 49$ (оканчивается на 9), $7^3 = 343$ (оканчивается на 3), $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1), $7^5 = 16807$ (оканчивается на 7). Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) имеет период 4. Найдем остаток от деления 30 на 4: $30 \div 4 = 7$ с остатком 2. Остаток 2 означает, что последняя цифра $17^{30}$ будет такой же, как у второго члена последовательности, то есть как у $7^2$. Таким образом, $17^{30}$ оканчивается на 9.

Последняя цифра произведения $101^{2025} \cdot 17^{30}$ равна последней цифре произведения их последних цифр: $1 \cdot 9 = 9$. Следовательно, выражение оканчивается на 9.

Ответ: 9

3) Найдем последнюю цифру выражения $13^9 \cdot 5^{75}$.

Последняя цифра числа $13^9$ совпадает с последней цифрой числа $3^9$. Цикл последних цифр для степеней тройки: (3, 9, 7, 1), период равен 4. Найдем остаток от деления 9 на 4: $9 \div 4 = 2$ с остатком 1. Остаток 1 означает, что последняя цифра $13^9$ такая же, как у первого члена последовательности, то есть как у $3^1$. Таким образом, $13^9$ оканчивается на 3.

Последняя цифра числа $5^{75}$ определяется последней цифрой его основания – 5. Любая натуральная степень числа 5 (начиная с первой) оканчивается на 5: $5^1 = 5, 5^2 = 25, 5^3 = 125$ и так далее. Следовательно, $5^{75}$ оканчивается на 5.

Последняя цифра произведения $13^9 \cdot 5^{75}$ равна последней цифре произведения их последних цифр: $3 \cdot 5 = 15$. Следовательно, выражение оканчивается на 5.

Ответ: 5