Номер 1.52, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. Докажите, что при любом натуральном $\text{n}$ значение дроби $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом.

Для того чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является натуральным числом при любом натуральном $ n $, необходимо доказать, что числитель $ 10^n - 1 $ делится нацело на знаменатель 9. Поскольку при $ n \ge 1 $ числитель всегда будет положительным, результат деления также будет положительным. Если он будет целым, то он будет натуральным. Рассмотрим несколько способов доказательства.

Способ 1: Использование признака делимости на 9

Согласно признаку делимости, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число $ 10^n $. При любом натуральном $ n $ это число записывается как единица, за которой следуют $ n $ нулей (например, $ 10^1 = 10 $, $ 10^2 = 100 $, $ 10^3 = 1000 $).

Теперь рассмотрим число $ 10^n - 1 $. Вычитая 1 из 1 с $ n $ нулями, мы получаем число, состоящее из $ n $ девяток.

Например:

При $ n=1 $: $ 10^1 - 1 = 9 $

При $ n=2 $: $ 10^2 - 1 = 99 $

При $ n=3 $: $ 10^3 - 1 = 999 $

В общем виде, число $ 10^n - 1 $ это число $ \underbrace{99...9}_{n \text{ раз}} $.

Найдем сумму цифр этого числа. Она равна $ \underbrace{9 + 9 + \dots + 9}_{n \text{ раз}} = 9n $.

Поскольку $ n $ является натуральным числом, произведение $ 9n $ всегда делится на 9. Следовательно, по признаку делимости, число $ 10^n - 1 $ делится на 9 при любом натуральном $ n $. Это означает, что значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является целым числом. Так как $ n \ge 1 $, это число положительное, а значит, натуральное.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение $ \frac{10^n - 1}{9} $. Его можно переписать как $ \frac{10^n - 1}{10 - 1} $.

Это выражение в точности совпадает с формулой для суммы первых $ n $ членов геометрической прогрессии $ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} $, где первый член $ b_1 = 1 $, а знаменатель прогрессии $ q = 10 $.

Таким образом, $ \frac{10^n - 1}{9} = 1 + 10^1 + 10^2 + \dots + 10^{n-1} $.

Справа стоит сумма целых положительных чисел (степеней десяти). Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Например:

При $ n=1 $: $ 1 = 1 $

При $ n=2 $: $ 1 + 10 = 11 $

При $ n=3 $: $ 1 + 10 + 100 = 111 $

Результатом является число, состоящее из $ n $ единиц, что, очевидно, является натуральным числом.

Способ 3: Метод математической индукции

1. База индукции:

Проверим утверждение для $ n=1 $.

$ \frac{10^1 - 1}{9} = \frac{9}{9} = 1 $.

1 — натуральное число. Утверждение верно для $ n=1 $.

2. Индукционное предположение:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $ k $, то есть $ \frac{10^k - 1}{9} $ является натуральным числом. Это означает, что $ 10^k - 1 $ делится на 9.

3. Индукционный шаг:

Докажем, что утверждение верно и для $ n = k+1 $, то есть что $ \frac{10^{k+1} - 1}{9} $ также является натуральным числом.

Рассмотрим числитель $ 10^{k+1} - 1 $:

$ 10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1 = (9 \cdot 10^k + 10^k) - 1 = 9 \cdot 10^k + (10^k - 1) $.

Это выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $ 9 \cdot 10^k $ и $ (10^k - 1) $.

Первое слагаемое, $ 9 \cdot 10^k $, очевидно, делится на 9.

Второе слагаемое, $ (10^k - 1) $, делится на 9 по нашему индукционному предположению.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 9, также делится на 9. Следовательно, $ 10^{k+1} - 1 $ делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $ n=k $, оно верно и для $ n=k+1 $. В сочетании с верностью базового случая ($ n=1 $), по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных чисел $ n $.

Все три способа показывают, что числитель $ 10^n - 1 $ всегда делится на 9 без остатка, а так как результат деления является положительным целым числом, он является натуральным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.