Номер 1.54, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Определите знак выражения:

1) $a^{2n}$;

2) $a^{2n+1}$, где $a<0$ и $n \geq 0$ - целое число.

1) Чтобы определить знак выражения $a^{2n}$, необходимо проанализировать его основание $a$ и показатель степени $2n$. По условию задачи, $a < 0$ (то есть $a$ — отрицательное число) и $n \ge 0$ является целым числом. Это значит, что $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$. Рассмотрим показатель степени $2n$. Поскольку $n$ — целое число, $2n$ всегда будет чётным числом.

• Если $n = 0$, то показатель степени равен $2 \cdot 0 = 0$. Выражение становится $a^0$. Любое ненулевое число (а $a < 0$, значит $a \ne 0$) в степени 0 равно 1. Число 1 является положительным.
• Если $n > 0$ ($n = 1, 2, 3, \ldots$), то $2n$ будет положительным чётным числом ($2, 4, 6, \ldots$).

Ответ: знак выражения положительный ($a^{2n} > 0$).

2) Теперь определим знак выражения $a^{2n+1}$. Основание степени $a$ по-прежнему отрицательное ($a < 0$). Рассмотрим показатель степени $2n+1$. Так как $2n$ является чётным числом для любого целого $n$, то $2n+1$ всегда будет нечётным числом. Поскольку $n \ge 0$ и является целым, показатель $2n+1$ будет принимать значения $1, 3, 5, 7, \ldots$. Все эти значения — положительные нечётные числа. Правило знаков гласит, что отрицательное число, возведённое в нечётную степень, всегда даёт отрицательный результат. Например, $(-3)^1 = -3 < 0$, $(-2)^3 = -8 < 0$. Следовательно, для любого целого $n \ge 0$ выражение $a^{2n+1}$ будет отрицательным.

Ответ: знак выражения отрицательный ($a^{2n+1} < 0$).