Номер 2.14, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Какой одночлен надо возвести в квадрат, чтобы получить одночлен:

1) $a^6b^{12}$;

2) $100p^8q^4$ ?

1) Чтобы найти одночлен, который при возведении в квадрат даёт $a^6b^{12}$, нужно выполнить операцию, обратную возведению в квадрат, — извлечение квадратного корня. Пусть искомый одночлен равен $X$. Тогда должно выполняться равенство $X^2 = a^6b^{12}$. Чтобы найти $X$, извлечем квадратный корень из $a^6b^{12}$. Для этого нужно извлечь корень из числового коэффициента (который в данном случае равен 1) и разделить показатели степеней каждой переменной на 2.

$\sqrt{a^6b^{12}} = \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^{12}} = a^{6/2} \cdot b^{12/2} = a^3b^6$.

Поскольку квадрат отрицательного числа также дает положительный результат, то есть $(-x)^2=x^2$, одночлен с противоположным знаком также будет решением: $(-a^3b^6)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^6)^2 = 1 \cdot a^6 \cdot b^{12} = a^6b^{12}$.

Таким образом, условию удовлетворяют два одночлена.

Ответ: $a^3b^6$ или $-a^3b^6$.

2) Аналогично, найдем одночлен $Y$, который при возведении в квадрат дает $100p^8q^6$. Должно выполняться равенство $Y^2 = 100p^8q^6$. Извлечем квадратный корень из $100p^8q^6$. Для этого извлечем корень из коэффициента 100 и разделим показатели степеней переменных $p$ и $q$ на 2.

$\sqrt{100p^8q^6} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{p^8} \cdot \sqrt{q^6} = 10 \cdot p^{8/2} \cdot q^{6/2} = 10p^4q^3$.

Как и в предыдущем случае, одночлен с противоположным знаком также является решением, поскольку $(-10)^2 = 100$: $(-10p^4q^3)^2 = (-10)^2 \cdot (p^4)^2 \cdot (q^3)^2 = 100 \cdot p^8 \cdot q^6 = 100p^8q^6$.

Следовательно, есть два одночлена, удовлетворяющих условию.

Ответ: $10p^4q^3$ или $-10p^4q^3$.