Номер 2.17, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $(-8a^m \cdot x^{n+1} y^n) \cdot (-\frac{1}{2} a^{2-m} x^{n-1} y^2);$

2) $(3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3;$

3) $0,64a^2 b^3 c \cdot 1\frac{9}{16} a^2 b^7 c^3 \cdot (-0,25a^2 bc^4);$

4) $\frac{(2ab)^3 (a^4 b^2 c)^2}{4a^2 b^3 c}.$

1) Чтобы представить произведение одночленов $(-8a^m \cdot x^{n+1} y^n)$ и $(-\frac{1}{2} a^{2-m} x^{n-1} y^2)$ в стандартном виде, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $(-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4$.

Затем перемножим степени с основанием $a$: $a^m \cdot a^{2-m} = a^{m + (2-m)} = a^2$.

Перемножим степени с основанием $x$: $x^{n+1} \cdot x^{n-1} = x^{(n+1) + (n-1)} = x^{2n}$.

Перемножим степени с основанием $y$: $y^n \cdot y^2 = y^{n+2}$.

Объединив все полученные результаты, получаем итоговый одночлен: $4a^2 x^{2n} y^{n+2}$.

Ответ: $4a^2 x^{2n} y^{n+2}$

2) Для упрощения выражения $(3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3$ сначала возведем каждый из одночленов в указанную степень, используя свойство $(xyz)^k = x^k y^k z^k$ и $(a^p)^q = a^{pq}$.

Возводим первый одночлен в квадрат: $(3x^n y^m)^2 = 3^2 \cdot (x^n)^2 \cdot (y^m)^2 = 9x^{2n} y^{2m}$.

Возводим второй одночлен в куб: $(-2x^n y^m)^3 = (-2)^3 \cdot (x^n)^3 \cdot (y^m)^3 = -8x^{3n} y^{3m}$.

Теперь перемножим полученные одночлены: $(9x^{2n} y^{2m}) \cdot (-8x^{3n} y^{3m})$.

Перемножаем коэффициенты: $9 \cdot (-8) = -72$.

Перемножаем степени с основанием $x$: $x^{2n} \cdot x^{3n} = x^{2n+3n} = x^{5n}$.

Перемножаем степени с основанием $y$: $y^{2m} \cdot y^{3m} = y^{2m+3m} = y^{5m}$.

В результате получаем: $-72x^{5n} y^{5m}$.

Ответ: $-72x^{5n} y^{5m}$

3) Необходимо представить в стандартном виде произведение трех одночленов: $0,64a^2 b^3 c \cdot 1\frac{9}{16} a^2 b^7 c^8 \cdot (-0,25a^2 b c^4)$. Для этого сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сначала преобразуем все числовые коэффициенты в удобный для вычисления вид, например, в обыкновенные дроби: $0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$; $1\frac{9}{16} = \frac{16 \cdot 1 + 9}{16} = \frac{25}{16}$; $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.

Перемножим коэффициенты: $\frac{16}{25} \cdot \frac{25}{16} \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$.

Теперь перемножим степени переменных, складывая их показатели:

Для переменной $a$: $a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$.

Для переменной $b$: $b^3 \cdot b^7 \cdot b^1 = b^{3+7+1} = b^{11}$.

Для переменной $c$: $c^1 \cdot c^8 \cdot c^4 = c^{1+8+4} = c^{13}$.

Собираем всё вместе и получаем одночлен в стандартном виде: $-\frac{1}{4}a^6 b^{11} c^{13}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}a^6 b^{11} c^{13}$

4) Чтобы упростить выражение $\frac{(2ab)^3 \cdot (a^4 b^2 c)^2}{4a^2 b^3 c}$, сначала упростим числитель, возведя множители в степень, а затем выполним деление одночленов.

Упростим числитель. Возведем каждый множитель в соответствующую степень:

Первый множитель: $(2ab)^3 = 2^3 a^3 b^3 = 8a^3 b^3$.

Второй множитель: $(a^4 b^2 c)^2 = (a^4)^2 (b^2)^2 c^2 = a^{4 \cdot 2} b^{2 \cdot 2} c^2 = a^8 b^4 c^2$.

Перемножим полученные выражения в числителе: $(8a^3 b^3) \cdot (a^8 b^4 c^2) = 8 a^{3+8} b^{3+4} c^2 = 8a^{11} b^7 c^2$.

Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{8a^{11} b^7 c^2}{4a^2 b^3 c}$.

Выполним деление, используя правило $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$. Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

Коэффициенты: $\frac{8}{4} = 2$.

Степени $a$: $\frac{a^{11}}{a^2} = a^{11-2} = a^9$.

Степени $b$: $\frac{b^7}{b^3} = b^{7-3} = b^4$.

Степени $c$: $\frac{c^2}{c^1} = c^{2-1} = c$.

Объединяем результаты и получаем: $2a^9 b^4 c$.

Ответ: $2a^9 b^4 c$