Номер 2.22, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22*. Докажите, что сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из сомножителей равна кубу среднего сомножителя.

Пусть три последовательных числа представлены как $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$, где $n$ — среднее из этих чисел (средний сомножитель).

Согласно условию, необходимо доказать, что сумма произведения этих трех чисел и среднего из них равна кубу среднего числа. Запишем это утверждение в виде математического тождества:

$(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n = n^3$

Для доказательства преобразуем левую часть этого равенства.

1. Сначала рассмотрим произведение трех последовательных чисел: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$. Для удобства вычислений сгруппируем множители следующим образом: $n \cdot [(n-1)(n+1)]$.

2. Выражение в скобках $(n-1)(n+1)$ является формулой разности квадратов, которая имеет вид $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применив эту формулу, получаем:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

3. Теперь подставим полученный результат обратно в произведение:

$n \cdot (n^2 - 1) = n \cdot n^2 - n \cdot 1 = n^3 - n$

4. Мы нашли, что произведение трех последовательных чисел равно $n^3 - n$. Теперь вернемся к исходному выражению в левой части доказываемого равенства. Оно представляет собой сумму этого произведения и среднего числа $n$:

$(n^3 - n) + n$

5. Упростим это выражение:

$n^3 - n + n = n^3$

В результате преобразования левой части равенства мы получили $n^3$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Таким образом, тождество $(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n = n^3$ является верным для любого числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из них тождественно равна кубу среднего числа: $(n-1)n(n+1) + n = n(n^2-1) + n = n^3 - n + n = n^3$.