Номер 2.26, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$;

2) $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$, необходимо упростить его, используя свойства степеней. Сначала представим основания 4 и 6 через простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}}$

Теперь применим свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и возведение произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$

Сократим общий множитель $3^{10}$ в числителе и знаменателе. Затем для степеней с основанием 2 применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^6}{2^{10}} = 2^{6-10} = 2^{-4}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, вычислим окончательное значение:

$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$, разложим основания 6 и 9 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$

В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$

Сократим общий множитель $3^{18}$. Затем для степеней с основанием 2 применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{24}}{2^{25}} = 2^{24-25} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$