Номер 2.23, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. Упростите выражение:

1) $\frac{5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}$

2) $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$, $n, m \in N$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+3) + (2n-1)} = 5^{4n+2}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим число 25 как степень 5, то есть $25 = 5^2$. Затем воспользуемся правилом возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^{2n+1} = (5^2)^{2n+1} = 5^{2 \cdot (2n+1)} = 5^{4n+2}$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{5^{4n+2}}{5^{4n+2}}$.

Так как числитель и знаменатель равны, а основание степени не равно нулю, то их частное равно 1.

Ответ: $1$

2) Для упрощения данного выражения можно разделить числитель почленно на знаменатель, либо вынести общий множитель в числителе. Воспользуемся первым способом.

$\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} - \frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$.

Теперь упростим каждую из полученных дробей, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$.

Упростим первую дробь:

$\frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^m}{2^m} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 1 \cdot 3^{(n-1)-n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Упростим вторую дробь:

$\frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1}}{2^m} \cdot \frac{3^n}{3^n} = 2^{(m-1)-m} \cdot 1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним вычитание полученных результатов:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$