Номер 2.24, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. Сократите дробь:

1) $\frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1}$;

2) $\frac{5^{n+1} - 5^n}{4}$;

3) $\frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}$.

1) Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней. В числителе представим $3^{-n}$ как $\frac{1}{3^n}$. В знаменателе представим $9^n$ как $(3^2)^n = 3^{2n}$.

$\frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1} = \frac{3^n + \frac{1}{3^n}}{3^{2n} + 1}$

Приведем числитель к общему знаменателю:

$3^n + \frac{1}{3^n} = \frac{3^n \cdot 3^n + 1}{3^n} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n}$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{\frac{3^{2n} + 1}{3^n}}{3^{2n} + 1} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n \cdot (3^{2n} + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3^{2n} + 1)$:

$\frac{1}{3^n} = 3^{-n}$

Ответ: $3^{-n}$

2) В числителе вынесем за скобки общий множитель $5^n$. Для этого представим $5^{n+1}$ как $5^n \cdot 5^1$.

$\frac{5^{n+1} - 5^n}{4} = \frac{5^n \cdot 5 - 5^n}{4} = \frac{5^n(5 - 1)}{4}$

Выполним вычитание в скобках:

$\frac{5^n \cdot 4}{4}$

Сократим дробь на 4:

$5^n$

Ответ: $5^n$

3) Сначала упростим выражение в скобках в числителе. Вынесем за скобки $4^{n-1}$. Для этого представим $4^n$ как $4^{n-1} \cdot 4^1$.

$4^n + 4^{n-1} = 4 \cdot 4^{n-1} + 1 \cdot 4^{n-1} = (4+1) \cdot 4^{n-1} = 5 \cdot 4^{n-1}$

Теперь возведем это выражение в квадрат:

$(5 \cdot 4^{n-1})^2 = 5^2 \cdot (4^{n-1})^2 = 25 \cdot 4^{2(n-1)} = 25 \cdot 4^{2n-2}$

Подставим полученный числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{25 \cdot 4^{2n-2}}{4^{2n-2}}$

Сократим дробь на $4^{2n-2}$:

$25$

Ответ: $25$