Номер 2.20, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $\frac{(x^2 y^3 z^2)^4 \cdot (x^3 y)^3}{(x y^2 z^4)^2}$

2) $\frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2 b^n)^2}, n \in N.$

1) Чтобы представить одночлен в стандартном виде, необходимо упростить данное выражение, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{(x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3}{(xy^2z^4)^2} $

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $ и правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $.

Числитель: $ (x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3 = (x^{2 \cdot 4} y^{3 \cdot 4} z^{2 \cdot 4}) \cdot (x^{3 \cdot 3} y^3) = (x^8 y^{12} z^8) \cdot (x^9 y^3) $.

Знаменатель: $ (xy^2z^4)^2 = x^2 y^{2 \cdot 2} z^{4 \cdot 2} = x^2 y^4 z^8 $.

2. Перемножим одночлены в числителе, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.

$ (x^8 y^{12} z^8) \cdot (x^9 y^3) = x^{8+9} y^{12+3} z^8 = x^{17} y^{15} z^8 $.

3. Теперь выражение имеет вид $ \frac{x^{17} y^{15} z^8}{x^2 y^4 z^8} $. Выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

$ \frac{x^{17}}{x^2} \cdot \frac{y^{15}}{y^4} \cdot \frac{z^8}{z^8} = x^{17-2} y^{15-4} z^{8-8} = x^{15} y^{11} z^0 $.

4. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$), получаем итоговый результат.

$ x^{15} y^{11} \cdot 1 = x^{15}y^{11} $.

Ответ: $x^{15}y^{11}$.

2) Упростим выражение $ \frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2b^n)^2} $, где $ n \in \mathbb{N} $, применяя те же свойства степеней.

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $ (3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n = (3^{2n} a^4 b^{2(n+1)}) \cdot (a^n b^n) = (3^{2n} a^4 b^{2n+2}) \cdot (a^n b^n) $.

Знаменатель: $ (3a^2b^n)^2 = 3^2 a^{2 \cdot 2} b^{n \cdot 2} = 9a^4b^{2n} $.

2. Сгруппируем и перемножим множители с одинаковыми основаниями в числителе.

$ (3^{2n} a^4 b^{2n+2}) \cdot (a^n b^n) = 3^{2n} \cdot (a^4 \cdot a^n) \cdot (b^{2n+2} \cdot b^n) = 3^{2n} a^{4+n} b^{(2n+2)+n} = 3^{2n} a^{n+4} b^{3n+2} $.

3. Выражение примет вид $ \frac{3^{2n} a^{n+4} b^{3n+2}}{9a^4b^{2n}} $. Выполним деление, представив $9$ как $3^2$.

$ \frac{3^{2n} a^{n+4} b^{3n+2}}{3^2 a^4 b^{2n}} = \frac{3^{2n}}{3^2} \cdot \frac{a^{n+4}}{a^4} \cdot \frac{b^{3n+2}}{b^{2n}} $.

4. Упростим каждую дробь, вычитая показатели степеней.

$ 3^{2n-2} \cdot a^{(n+4)-4} \cdot b^{(3n+2)-2n} = 3^{2n-2} a^n b^{n+2} $.

Ответ: $3^{2n-2}a^n b^{n+2}$.