Номер 2.21, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных степеней с основанием 4 кратна 84.

Обозначим сумму трех последовательных натуральных степеней с основанием 4 как $S$. Пусть $n$ — наименьший из трех последовательных натуральных показателей степени, где $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n \ge 1$). Тогда следующие два показателя будут $n+1$ и $n+2$.

Таким образом, сумму можно записать в виде: $S = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}$

Чтобы доказать, что эта сумма кратна 84, необходимо показать, что $S$ можно представить в виде $84 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

Для этого преобразуем выражение, вынеся общий множитель $4^n$ за скобки: $S = 4^n(1 + 4^1 + 4^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках: $1 + 4 + 16 = 21$

Подставим полученное значение обратно в выражение для $S$: $S = 4^n \cdot 21$

Нам нужно доказать, что $4^n \cdot 21$ делится на 84 без остатка. Разложим число 84 на простые множители, чтобы увидеть связь с нашим выражением: $84 = 4 \cdot 21$.

Перепишем выражение для $S$, чтобы явно выделить множитель 84. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что мы можем представить $4^n$ как $4 \cdot 4^{n-1}$: $S = (4 \cdot 4^{n-1}) \cdot 21$

Сгруппируем множители, используя коммутативный и ассоциативный законы умножения: $S = (4 \cdot 21) \cdot 4^{n-1}$ $S = 84 \cdot 4^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), показатель степени $n-1$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Следовательно, $4^{n-1}$ всегда будет целым числом (например, при $n=1$, $4^{1-1}=4^0=1$; при $n=2$, $4^{2-1}=4^1=4$ и т.д.).

Таким образом, мы представили исходную сумму $S$ как произведение числа 84 и целого числа $4^{n-1}$. Это означает, что сумма $S$ всегда делится на 84 без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.