Номер 2.27, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Какой цифрой может оканчиваться:

1) квадрат натурального числа;

2) четвертая степень натурального числа?

1) Последняя цифра квадрата натурального числа $n^2$ определяется исключительно последней цифрой самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры для квадрата, нам нужно рассмотреть, на какую цифру оканчивается квадрат каждой из цифр от 0 до 9.

Выполним вычисления для каждой возможной последней цифры натурального числа:

Если число оканчивается на 0, его квадрат оканчивается на 0, так как $0^2 = 0$.

Если число оканчивается на 1, его квадрат оканчивается на 1, так как $1^2 = 1$.

Если число оканчивается на 2, его квадрат оканчивается на 4, так как $2^2 = 4$.

Если число оканчивается на 3, его квадрат оканчивается на 9, так как $3^2 = 9$.

Если число оканчивается на 4, его квадрат оканчивается на 6, так как $4^2 = 16$.

Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5, так как $5^2 = 25$.

Если число оканчивается на 6, его квадрат оканчивается на 6, так как $6^2 = 36$.

Если число оканчивается на 7, его квадрат оканчивается на 9, так как $7^2 = 49$.

Если число оканчивается на 8, его квадрат оканчивается на 4, так как $8^2 = 64$.

Если число оканчивается на 9, его квадрат оканчивается на 1, так как $9^2 = 81$.

Собрав все уникальные последние цифры, мы получаем следующий набор: {0, 1, 4, 5, 6, 9}. Таким образом, квадрат натурального числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Ответ: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) Последняя цифра четвертой степени натурального числа $n^4$ также зависит только от последней цифры числа $n$.

Мы можем рассмотреть четвертую степень как квадрат квадрата: $n^4 = (n^2)^2$. Это означает, что последняя цифра $n^4$ — это последняя цифра квадрата числа, на которое оканчивается $n^2$.

Из первого пункта мы знаем, что $n^2$ может оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Теперь найдем, на какую цифру будет оканчиваться квадрат числа с одной из этих последних цифр:

Если $n^2$ оканчивается на 0, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 0 ($0^2=0$).

Если $n^2$ оканчивается на 1, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 1 ($1^2=1$).

Если $n^2$ оканчивается на 4, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 6 ($4^2=16$).

Если $n^2$ оканчивается на 5, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 5 ($5^2=25$).

Если $n^2$ оканчивается на 6, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 6 ($6^2=36$).

Если $n^2$ оканчивается на 9, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на 1 ($9^2=81$).

Таким образом, собрав все уникальные последние цифры, мы получаем, что четвертая степень натурального числа может оканчиваться на 0, 1, 5 или 6.

Ответ: 0, 1, 5, 6.