Вопросы, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте определение многочлена.

2. Какие одночлены называются подобными?

3. Что означает выражение «Приведите подобные члены многочлена»?

4. Что называется степенью многочлена?

5. Как привести многочлен к стандартному виду?

6. Сформулируйте правила сложения и вычитания многочленов.

1. Сформулируйте определение многочлена.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Частным случаем многочлена является одночлен, который можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Например, выражение $7x^3y - 2x^2 + 5xy - 9$ является многочленом, его члены — это $7x^3y$, $-2x^2$, $5xy$ и $-9$.

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов.

2. Какие одночлены называются подобными?

Подобными одночленами (или подобными членами) называются одночлены, которые либо полностью совпадают, либо различаются только своими коэффициентами. У подобных одночленов одинаковая буквенная часть.

Например, одночлены $5a^2b$ и $-12a^2b$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2b$. Одночлены $3xy$ и $3x^2y$ не являются подобными, так как их буквенные части различны.

Ответ: Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью.

3. Что означает выражение «Приведите подобные члены многочлена»?

Это действие, также называемое упрощением многочлена или приведением подобных слагаемых, означает замену суммы всех подобных членов одним одночленом, который равен этой сумме. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных членов, а их общую буквенную часть оставить без изменений.

Например, в многочлене $4xy + 3a - 2xy + a$ есть две группы подобных членов: $(4xy, -2xy)$ и $(3a, a)$. Приведение подобных членов означает выполнение следующих действий: $(4-2)xy + (3+1)a = 2xy + 4a$.

Ответ: Это означает сложить все подобные члены многочлена, заменив их одним членом.

4. Что называется степенью многочлена?

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней одночленов, входящих в его состав. Степенью произвольного многочлена называется степень многочлена стандартного вида, который ему тождественно равен. Степенью одночлена является сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например, чтобы найти степень многочлена $5x^4y^2 - 3x^6 + 2y^3$, найдем степени его членов: степень $5x^4y^2$ равна $4+2=6$; степень $-3x^6$ равна $6$; степень $2y^3$ равна $3$. Наибольшая из этих степеней равна 6, следовательно, степень всего многочлена равна 6.

Ответ: Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов.

5. Как привести многочлен к стандартному виду?

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два шага:

1. Привести каждый член многочлена к стандартному виду. Это означает, что каждый одночлен должен быть представлен в виде произведения числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных. Например, член $3x \cdot 2y \cdot x$ приводится к виду $6x^2y$.

2. Привести подобные члены в получившемся многочлене. Это значит сложить коэффициенты одночленов с одинаковой буквенной частью.

Например, приведем к стандартному виду многочлен $2a^2b - 5ab \cdot a + 7a^2b + 3$.

1. Стандартизируем члены: $2a^2b - 5a^2b + 7a^2b + 3$.

2. Приводим подобные: $(2-5+7)a^2b + 3 = 4a^2b + 3$.

Ответ: Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно каждый его член привести к стандартному виду, а затем привести подобные члены.

6. Сформулируйте правила сложения и вычитания многочленов.

Правило сложения: Чтобы сложить два многочлена, нужно составить новый многочлен, членами которого являются все члены исходных многочленов (каждый со своим знаком), а затем привести в нём подобные члены. Фактически, это означает раскрыть скобки и упростить полученное выражение.

Пример: $(3x^2 - 2xy) + (5x^2 + 4xy - 1) = 3x^2 - 2xy + 5x^2 + 4xy - 1 = (3+5)x^2 + (-2+4)xy - 1 = 8x^2 + 2xy - 1$.

Правило вычитания: Чтобы из одного многочлена вычесть другой, нужно к первому многочлену прибавить многочлен, противоположный второму (то есть многочлен, все члены которого взяты с противоположными знаками). Фактически, это означает раскрыть скобки, меняя знак каждого члена второго многочлена на противоположный, а затем привести подобные члены.

Пример: $(7a - 3b) - (4a - 5b) = 7a - 3b - 4a + 5b = (7-4)a + (-3+5)b = 3a + 2b$.

Ответ: При сложении многочленов их члены складываются, после чего приводятся подобные. При вычитании к первому многочлену прибавляется второй, взятый с противоположным знаком, после чего приводятся подобные.