Номер 2.16, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Упростите выражение:

1) $(0,2x^2 \cdot y)^3 \cdot 1000x^4y^7;$

2) $(\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b);$

3) $(-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n);$

4) $-0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(0,2x^2y)^3 \cdot 1000x^4y^7$, сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство степени произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(0,2x^2y)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 0,008 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^3 = 0,008x^6y^3$.

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$0,008x^6y^3 \cdot 1000x^4y^7$.

Сгруппируем коэффициенты и переменные и применим свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(0,008 \cdot 1000) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^3 \cdot y^7) = 8 \cdot x^{6+4} \cdot y^{3+7} = 8x^{10}y^{10}$.

Ответ: $8x^{10}y^{10}$.

2) Упростим выражение $(\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b)$.

Сначала возведем в степень первый множитель:

$(\frac{1}{4}a^2b)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{64} \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^3 = \frac{1}{64}a^6b^3$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{1}{64}a^6b^3 \cdot (-32a^2b)$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^1) = -\frac{32}{64} \cdot a^{6+2} \cdot b^{3+1} = -\frac{1}{2}a^8b^4$.

Ответ: $-\frac{1}{2}a^8b^4$.

3) Упростим выражение $(-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n)$.

Возведем в квадрат первый множитель. Обратите внимание, что минус в квадрате дает плюс:

$(-\frac{2}{3}mn^4)^2 = (-\frac{2}{3})^2 \cdot m^2 \cdot (n^4)^2 = \frac{4}{9} \cdot m^2 \cdot n^{4 \cdot 2} = \frac{4}{9}m^2n^8$.

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель:

$\frac{4}{9}m^2n^8 \cdot (-27m^5n)$.

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:

$(\frac{4}{9} \cdot (-27)) \cdot (m^2 \cdot m^5) \cdot (n^8 \cdot n^1) = (4 \cdot (-3)) \cdot m^{2+5} \cdot n^{8+1} = -12m^7n^9$.

Ответ: $-12m^7n^9$.

4) Упростим выражение $-0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2$.

Сначала возведем в степень второй множитель:

$(0,5cd^2)^2 = (0,5)^2 \cdot c^2 \cdot (d^2)^2 = 0,25 \cdot c^2 \cdot d^{2 \cdot 2} = 0,25c^2d^4$.

Теперь перемножим первое выражение и результат, который мы получили:

$-0,6c^7d^7 \cdot 0,25c^2d^4$.

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(-0,6 \cdot 0,25) \cdot (c^7 \cdot c^2) \cdot (d^7 \cdot d^4) = -0,15 \cdot c^{7+2} \cdot d^{7+4} = -0,15c^9d^{11}$.

Ответ: $-0,15c^9d^{11}$.