Номер 2.18, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Упростите выражение:

1) $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}} $;

2) $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}} $.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}} $, вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки $3^5$ (степень с наименьшим показателем):

$3^5 + 3^9 = 3^5(1 + 3^{9-5}) = 3^5(1 + 3^4)$.

В знаменателе вынесем за скобки $3^{-9}$ (степень с наименьшим показателем):

$3^{-5} + 3^{-9} = 3^{-9}(3^{-5-(-9)} + 1) = 3^{-9}(3^4 + 1)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{3^5(1 + 3^4)}{3^{-9}(3^4 + 1)} $

Так как множитель $(1 + 3^4)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, мы можем сократить на него дробь:

$ \frac{3^5}{3^{-9}} $

Далее воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 3^{5 - (-9)} = 3^{5+9} = 3^{14} $.

Ответ: $3^{14}$

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}} $, применим тот же метод, что и в первом пункте.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $2^5$:

$2^5 + 2^6 + 2^7 = 2^5(1 + 2^{6-5} + 2^{7-5}) = 2^5(1 + 2^1 + 2^2) = 2^5(1 + 2 + 4) = 2^5 \cdot 7$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2^{-7}$:

$2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7} = 2^{-7}(2^{-5-(-7)} + 2^{-6-(-7)} + 1) = 2^{-7}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{-7}(4 + 2 + 1) = 2^{-7} \cdot 7$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{2^5 \cdot 7}{2^{-7} \cdot 7} $

Сократим дробь на общий множитель $7$:

$ \frac{2^5}{2^{-7}} $

Используем свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 2^{5 - (-7)} = 2^{5+7} = 2^{12} $.

Ответ: $2^{12}$