Номер 3.36, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. По течению реки плывет моторная лодка, собственная скорость которой равна 20 км/ч. В противоположном направлении движется катер, собственная скорость которого равна 30 км/ч. Первоначальное расстояние между ними равно 20000 м, а скорость течения реки – 3 км/ч. Считая, что расстояние $\text{s}$ между ними является функцией от времени $\text{t}$, заполните таблицу.

$\text{t}$, мин 10 20 30 40 50 60 70 80 90

$\text{S}$, м

1) Имеются ли в условии задачи лишние данные?

2) Постройте по таблице график функции $s = f(t)$. Здесь 1 см по оси $\text{Ox}$ соответствует 10 мин, а 1 см по оси $\text{Oy}$ – 2000 м.

Для решения задачи и заполнения таблицы сперва определим, как изменяется расстояние между моторной лодкой и катером с течением времени.

1. Нахождение скорости сближения.

Моторная лодка плывет по течению, поэтому ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{лодки} = v_{собст. лодки} + v_{течения} = 20 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 23$ км/ч.

Катер движется в противоположном направлении, то есть против течения. Его скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{катера} = v_{собст. катера} - v_{течения} = 30 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 27$ км/ч.

Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей относительно берега:

$v_{сбл} = v_{лодки} + v_{катера} = 23 \text{ км/ч} + 27 \text{ км/ч} = 50$ км/ч.

2. Составление формулы зависимости $S(t)$.

Для расчетов нам удобнее перевести скорость в метры в минуту, так как в таблице время дано в минутах, а расстояние нужно найти в метрах.

$v_{сбл} = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{50000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{2500}{3}$ м/мин.

Начальное расстояние между ними $S_0 = 20000$ м. Расстояние между объектами уменьшается со скоростью $v_{сбл}$. Таким образом, расстояние $S$ через время $t$ можно найти по формуле:

$S(t) = S_0 - v_{сбл} \cdot t = 20000 - \frac{2500}{3}t$.

Эта формула верна до момента встречи. Найдем время встречи $t_{встр}$, когда $S(t_{встр})=0$:

$0 = 20000 - \frac{2500}{3}t_{встр} \implies t_{встр} = \frac{20000 \cdot 3}{2500} = 24$ минуты.

После 24 минут объекты начнут удаляться друг от друга, и расстояние между ними снова будет расти. Общая формула для расстояния, которая учитывает движение и до, и после встречи, использует модуль:

$S(t) = |S_0 - v_{сбл} \cdot t| = |20000 - \frac{2500}{3}t|$.

3. Заполнение таблицы.

Используя полученную формулу, вычислим значения $S$ для каждого значения $t$ из таблицы. Результаты округлим до целого числа.

• $t=10: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 10| = |20000 - 8333.33...| \approx 11667$ м
• $t=20: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 20| = |20000 - 13333.33...| \approx 3333$ м
• $t=30: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 30| = |20000 - 25000| = |-5000| = 5000$ м
• $t=40: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 40| = |20000 - 33333.33...| \approx 13333$ м
• $t=50: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 50| = |20000 - 41666.67...| \approx 21667$ м
• $t=60: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 60| = |20000 - 50000| = |-30000| = 30000$ м
• $t=70: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 70| = |20000 - 58333.33...| \approx 38333$ м
• $t=80: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 80| = |20000 - 66666.67...| \approx 46667$ м
• $t=90: S = |20000 - \frac{2500}{3} \cdot 90| = |20000 - 75000| = |-55000| = 55000$ м

Заполненная таблица:

1) Имеются ли в условии задачи лишние данные?

Да, в условии задачи есть лишние данные. При расчете скорости сближения лодки и катера, движущихся навстречу друг другу по реке (один по течению, другой против), скорость течения реки не влияет на конечный результат. Скорость сближения равна:

$v_{сбл} = (v_{собст. лодки} + v_{течения}) + (v_{собст. катера} - v_{течения}) = v_{собст. лодки} + v_{собст. катера}$.

В нашем случае это $20 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч} = 50$ км/ч. Как видно, слагаемые со скоростью течения $v_{течения}$ взаимно уничтожаются. Таким образом, знание скорости течения реки (3 км/ч) не является необходимым для решения задачи.

Ответ: Да, скорость течения реки (3 км/ч) является лишним данным.

2) Постройте по таблице график функции s = f(t). Здесь 1 см по оси Ох соответствует 10 мин, а 1 см по оси Оу — 2000 м.

Для построения графика функции $s = f(t)$ на координатной плоскости необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить оси координат. Горизонтальная ось — ось времени $t$ (в минутах), вертикальная — ось расстояния $S$ (в метрах).
2. Выбрать масштаб согласно условию: по оси $t$ (Ох) 1 см = 10 мин, по оси $S$ (Оу) 1 см = 2000 м.
3. Нанести на плоскость точки с координатами $(t, S)$ из заполненной таблицы. Например:
   • Начальный момент: $(0, 20000)$. На графике это точка с координатами по сантиметрам $(0, 10)$.
   • $t=10$: $(10, 11667)$. На графике — $(1 \text{ см}, \frac{11667}{2000} \approx 5.8 \text{ см})$.
   • $t=24$: $(24, 0)$. Это точка встречи на оси времени. На графике — $(2.4 \text{ см}, 0 \text{ см})$.
   • $t=30$: $(30, 5000)$. На графике — $(3 \text{ см}, \frac{5000}{2000} = 2.5 \text{ см})$.
   • $t=60$: $(60, 30000)$. На графике — $(6 \text{ см}, \frac{30000}{2000} = 15 \text{ см})$.
4. Соединить точки. Поскольку зависимость расстояния от времени является кусочно-линейной ($S(t) = |20000 - \frac{2500}{3}t|$), график будет состоять из двух прямых линий, образующих "галочку" (V-образную форму).

Первая линия — отрезок, идущий вниз от точки $(0, 20000)$ до точки $(24, 0)$. Он показывает, как расстояние между объектами уменьшается до их встречи.

Вторая линия — луч, идущий вверх из точки $(24, 0)$, проходящий через остальные точки. Он показывает, как расстояние увеличивается после встречи.

Ответ: График функции $s=f(t)$ представляет собой V-образную линию ("галочку"), состоящую из двух прямолинейных участков. Вершина "галочки" находится в точке $(24, 0)$ на оси времени, что соответствует моменту встречи лодки и катера. Первый участок графика — убывающий отрезок от точки $(0, 20000)$ до $(24, 0)$. Второй участок — возрастающий луч, начинающийся в точке $(24, 0)$.