Номер 3.39, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Сократите дробь:

1) $ \left(\frac{1}{36}\right)^{-n} : 6^{2n-1};$

2) $\frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n}.$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{36})^{-n} : 6^{2n-1}$, преобразуем его по шагам, используя свойства степеней.

Сначала преобразуем первый член $(\frac{1}{36})^{-n}$. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-m} = (\frac{b}{a})^{m}$:

$(\frac{1}{36})^{-n} = (36)^n$

Теперь представим число 36 как степень числа 6, так как второй член выражения также имеет основание 6. Поскольку $36 = 6^2$, получаем:

$(36)^n = (6^2)^n$

Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, упростим выражение:

$(6^2)^n = 6^{2n}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$6^{2n} : 6^{2n-1}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):

$6^{2n - (2n-1)} = 6^{2n - 2n + 1} = 6^1 = 6$

Ответ: 6

2) Чтобы сократить дробь $\frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n}$, разложим основание 40 в числителе на простые множители.

$40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Теперь подставим это разложение в числитель дроби:

$40^{n+1} = (2^3 \cdot 5)^{n+1}$

Используя свойство степени $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$, раскроем скобки:

$(2^3 \cdot 5)^{n+1} = (2^3)^{n+1} \cdot 5^{n+1}$

Применяя свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:

$(2^3)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 2^{3(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 2^{3n+3} \cdot 5^{n+1}$

Теперь подставим полученное выражение для числителя обратно в исходную дробь:

$\frac{2^{3n+3} \cdot 5^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{3n+3}}{2^{3n+1}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 2^{(3n+3) - (3n+1)} \cdot 5^{(n+1) - n}$

Упростим показатели степеней:

$2^{3n+3-3n-1} \cdot 5^{n+1-n} = 2^2 \cdot 5^1$

Вычислим конечный результат:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20